PS

Enriched Yoneda lemma (weak form)

1-category of enriched functors

  • monoidal category:  \mathcal{V}
  •  \mathcal{V}-category:  \mathcal{A}, \mathcal{B}

について、 \mathcal{V}-natural transformation を 1-cell とする 1-category は

  •  \operatorname{\mathcal{V-}\mathbf{CAT}}(\mathcal{A},\mathcal{B})

であった。

記法

  •  \operatorname{\mathcal{V}\mathrm{-nat}}(T,S) := \operatorname{\mathcal{V-}\mathbf{CAT}}(\mathcal{A},\mathcal{B})(T,S)

命題

  • symmetric closed monoidal category:  \mathcal{V} := (\mathcal{V} _ 0, \otimes, I)
  •  \mathcal{V}-category:  \mathcal{A}
  •  \mathcal{V}-functor:  F : \mathcal{A} \to (\mathcal{V})
  •  \mathcal{A}-object:  K

について

  •  \operatorname{\mathcal{V}\mathrm{-nat}}(\mathcal{A}(K,\unicode{0x2013}),F) \cong (\mathcal{V}) _ 0 (I, FK) \big( \cong \mathcal{V} _ 0(I, FK) \big)

しかも  K, F について 1-natural。

証明

f:id:mbps:20150401055742p:plain

f:id:mbps:20150401061518p:plain

とすればよい。

各枝が  \mathcal{V}-(extra)natural ならば合わせても  \mathcal{V}-(extra)natural であることに注意する。

参考文献