PS

Enriched end functor

Symmetric closed monoidal category  \mathcal{V} = (\mathcal{V} _ 0, \otimes, I) において・・・

Enriched end 1-functor

Ending  \mathcal{V}-wedge の族:

  •  \big( ( \lambda _ A ^ T : \displaystyle\int _ {\mathcal{A}} T \to T(A,A) ) _ A \big) _ { T  : \mathcal{A} ^ {\operatorname{op}} \otimes \mathcal A  \to (\mathcal{V} ) }

が存在するならば、1-functor

  •  \displaystyle\int _ { \mathcal{A} } : \operatorname{\mathcal{V-}\mathbf{CAT} } (\mathcal{A} ^ {\operatorname{op} }  \otimes \mathcal{A} , (\mathcal{V} ) ) \to \mathcal V _ 0

を次のように定義できる:

f:id:mbps:20151109035518p:plain

命題

 \mathcal V-functor:

  •  T : \mathcal A ^ {\operatorname{op}} \otimes \mathcal A \otimes \mathcal B \to (\mathcal V)

について、ending  \mathcal{V}-wedge の族:

  •  \big( ( \lambda _ A ^ B : \displaystyle\int _ A T(A,A,B) \to T(A,A,B) ) _ A \big) _ B

が存在するならば

  •  HB = \displaystyle\int _ A T(A,A,B)
  •  \lambda _ A ^ B : \mathcal V-natural-looking in  B

なる  \mathcal V-infrafunctor:

  •  H : \mathcal B \to (\mathcal V)

がただ一つ存在し、しかも  \mathcal{V}-functorial。

(Enriched Yoneda embedding - PS も参照)

証明

Enriched end - PS の命題を使って

f:id:mbps:20150426075403p:plain

とすればよい。

Naturality preservation

 \lambda ^ B による end bijection の族:

  •  \operatorname{\mathcal{V-}\mathrm{wedge} } ( RB,T( \unicode{0x2013},\unicode{0x2013},B) ) \cong _ B \mathcal{V} _ 0(RB, HB)
    •  R : \mathcal{B} \to (\mathcal{V})

について

  •  \alpha \in 左辺 が  B について  \mathcal{V}-natural-looking  \iff \beta \in 右辺 が  B について  \mathcal{V}-natural-looking

参考文献

*1:Functors preserve iso.