PS

Representability による limit

圏論命題 Yoneda

(これを一般化したものが Weighted limit - PS)

Yoneda embedding bijection

category: $\mathcal{C}$
category of presheaves: $\hat{\mathcal{C}} := \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} ^ {\operatorname{op}}}$

について、Yoneda embedding:

$Y : \mathcal{C} \to \hat{\mathcal{C}}$

の各 component は、Yoneda bijection:

$Y _{C,D} : \mathcal{C}(C,D) \cong \hat{\mathcal{C}}(YC, YD)$

となるのであった。

補題

上記の Yoneda bijection は、limiting cone を preserve する。つまり、functor:

$F : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$

について

$(\sigma _ A : L \to FA) _ A : \text{limiting cone} \iff (Y _ {L,FA} (\sigma _ A) : YL \to YFA) _ A : \text{limiting cone}$
$(Y _ {L,FA}) ^ {-1}(\tau _ A : L \to FA) : \text{limiting cone} \iff (\tau _ A : YL \to YFA) _ A : \text{limiting cone}$

証明

Cone の naturality と $Y ^ {-1}$ の定義により $Y ^ {-1}$ は composition-compatible。

命題

$L \cong \lim F \iff \mathcal{C}(C, L) \cong _ C \text{Nat}(\Delta \lbrace \ast \rbrace, A \mapsto (YFA)C )$

証明

補題により

$L \cong \lim F \iff \mathcal{C}(C, L) \cong _ C (\lim _ A YFA )(C)$

Pointwise limits - PS により

$(\lim_ A YFA)(C) \cong \lim _ A ((YFA)C)$

Limits in sets - PS により

$\lim _ A ( (YFA)C) \cong \text{Nat}(\Delta \lbrace \ast \rbrace, A \mapsto (YFA)C )$

記法

$\mathcal{C}(C, \lim F) \cong _ C \text{Nat}(\Delta \lbrace \ast \rbrace, \mathcal{C}(C,F(\unicode{0x2013}) )$

参考文献