Weighted limit

$\mathcal{V}$ -enriched functor:

について、representation of $\lambda _ B \lbrack \mathcal{K},(\mathcal{V}) \rbrack (F, \lambda _ K \mathcal{B}(B,GK) )$ :

を $F$ -weighted limit of $G$ といい

等々で表す。

上記の representation は Yoneda bijection により、 $[\mathcal{K},(\mathcal{V})]$ -morphism:

に対応する。さらにこれは end bijection(Enriched functor category - PS の系)により、 $\mathcal{V}$ -natural transformation:

に対応する。これらを counit of $\textstyle\lim ^ F G$ という。

特に

について、 $F$ -weighted limit of $G ^ {\operatorname{op}}$ :

$\mathcal{B}(L,B) \cong [\mathcal{K} ^ {\operatorname{op}},(\mathcal{V}) ](F, \lambda _ K \mathcal{B}( G ^ {\operatorname{op}} K,B) )$

を $F$ -weighted colimit of $G$ といい

$F \star G := \operatorname{colim} ^ F G := F \cdot G := \lbrace F, G ^ {\operatorname{op}} \rbrace = (L, \cong)$

等々で表す。

Weighted limit の族:

が存在すれば、Enriched representability - PS の命題より $\mathcal{V}$ -functor:

$\textstyle\lim ^ {(-)} (=) : [ \mathcal{K},(\mathcal{V})] ^ {\operatorname{op}} \otimes [ \mathcal{K}, \mathcal{B}] \to \mathcal{B}$

が定まる。