PS

Enriched RAPL

圏論 Enriched Weighted limit Adjunction

Weighted limits in self-enriched categories

Weighted limit による enriched Yoneda lemma - PS の命題より

  • \textstyle\lim ^ F G \cong \lbrack \mathcal{K},(\mathcal{V}) \rbrack ( F, G )
    • F, G : \mathcal{K} \to (\mathcal{V})

となるのであった。

HPL

(という略語は見たことがない)

enriched Hom functors Preserve weighted Limits:

  • \mathcal{B}(B, \textstyle\lim _ K ^ {FK} GK) \cong \textstyle\lim _ K ^ {FK} \mathcal{B}(B, GK)

(Enriched hom functors preserve weighted limits - PS も参照)

証明

\begin{aligned} & \mathcal{B}(B, \textstyle\lim _ K ^ {FK} GK) \\ \cong & \lbrace \text{definition of limits} \rbrace \\ & \lbrace \mathcal{K},(\mathcal{V})\rbrack(F, \lambda _ K \mathcal{B}(B, GK) ) \\ \cong & \lbrace \text{limits in} (\mathcal{V}) \rbrace \\ & \textstyle\lim _ K ^ {FK} \mathcal{B}(B, GK) \end{aligned}

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RAPL

enriched Right Adjoints Preserve weighted Limits:

  • \mathcal{V}-adjunction: S \dashv (T: \mathcal{B} \to \mathcal{C})
  • \mathcal{V}-functor: F : \mathcal{K} \to (\mathcal{V})
  • \mathcal{V}-functor: G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}
  • F-weighted limit of G: \textstyle\lim _ K ^ {FK} GK

について

  • T \textstyle\lim _ K ^ {FK} GK \cong \textstyle\lim _ K ^{FK} TGK

証明

\begin{aligned} & \mathcal{C}(C,T \textstyle\lim _ K ^ {FK} GK) \\ \cong & \lbrace \text{adjoint iso} \rbrace \\ & \mathcal{B}(SC,\textstyle\lim _ K ^ {FK} GK) \\ \cong & \lbrace \text{HPL} \rbrace \\ & \textstyle\lim _ K ^{FK} \mathcal{B}(SC, GK) \rbrace \\ \cong & \lbrace \text{adjoint iso} \rbrace \\ & \textstyle\lim _ K ^{FK} \mathcal{C}(C, TGK) \rbrace \\ \cong & \lbrace \text{limits in} (\mathcal{V}) \rbrace \\ & \lbrack \mathcal{K},(\mathcal{V}) \rbrack (F, \lambda _ K \mathcal{C}(C, TGK) ) \end{aligned}

これを計算すると、確かに Preservation of weighted limits - PS の形になる。特に flip iso と limit iso の naturality に注意する。

参考文献