PS

Every presheaf is a colimit of representables

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。

Pointwise weighted limits

Pointwise weighted limits - PS より:

  •  \textstyle\lim _ K ^ {FK} \lambda _ A P(K,A) \cong \lambda _ A \textstyle\lim _ K ^ {FK} P(K,A) \rbrace
    •  F:  \mathcal{K} \to (\mathcal{V})
    •  P : \mathcal{K} \otimes \mathcal{A} \to \mathcal{B}

Pointwise weighted colimits

  •  \operatorname{colim} _ K ^ {FK} \lambda _  A P(K,A)  \cong \lambda _ A \operatorname{colim} _ K ^ {FK} P(K,A)
    •  F:  \mathcal{K} ^ {\operatorname{op}} \to (\mathcal{V})
    •  P : \mathcal{K} \otimes \mathcal{A} \to \mathcal{B}

(怪しい)証明 @deprecated

@deprecated

Contravariant Yoneda embedding @deprecated

  •  Y ^ - : \mathcal{K} ^ {\operatorname{op}} \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack
  •  Y ^ - = K ^ \ast \mapsto A \mapsto \mathcal{K}(K ^ \ast, A)

命題

  •  \operatorname{colim} _ K ^ {FK} \lambda _ A \mathcal{K}(K,A) \cong F
    •  F : \mathcal{K} \to (\mathcal{V})

証明


\begin{aligned}

      & \operatorname{colim} _ K ^ {FK} \lambda _ A \mathcal{K}(K,A) \\

\cong & \lbrace \text{pointwise colimits} \rbrace \\
      & \lambda _ A \operatorname{colim} _ K ^ {FK} \mathcal{K}(K,A) \\

\cong & \lbrace \text{symmetricity of colimits} \rbrace \\
      & \lambda _ A \operatorname{colim} _ K ^ {\mathcal{K}(K,A)} FK \\

\cong & \lbrace \text{co-Yoneda lemma} \rbrace \\
      & F 

\end{aligned}

具体的には、以下の二つが互いに inverse となる:

f:id:mbps:20150824221405p:plain

f:id:mbps:20150824223444p:plain

この命題は、pointwise weighted colimits および colimits の symmetricity のもと、co-Yoneda lemma と同値になる(と思う)。

Variant

Every presheaf is a colimit of representables:

  •  \operatorname{colim} _ K ^ {FK} \lambda _ A \mathcal{K}(A,K) \cong F
    •  F : \mathcal{K} ^ {\operatorname{op}} \to (\mathcal{V})

参考文献