PS

Existence-compatibility of representations

圏論 Representation

(･･･とでも)

記法

$\operatorname{Rep}(F) := \lbrace R \mid \mathcal{A}(R, A) \cong FA : \operatorname{\mathcal{V}-natural} \text{ in } A \rbrace$
- $F : \mathcal{A} \to (\mathcal{V})$

命題.1

$R \in \operatorname{Rep}(F) \implies R \cong \operatorname{rep} F$
$R \cong \operatorname{rep}F \implies R \in \operatorname{Rep}(F)$

記法

$\mathcal{V}$ -functor:

$F,G : \mathcal{A} \to (\mathcal{V})$

について

$\operatorname{Rep}(F) = \operatorname{Rep}(G)$

となるとき

$\operatorname{rep} F \overset{\exists}{\cong} \operatorname{rep} G$

と書くことにする。 $\exists$ の記号はこの記事以外では省略する。

命題.2

$\mathcal{V}$ -functor:

$F,G : \mathcal{A} \to (\mathcal{V})$

について

- $\mathcal{V}$ -natural in $A$

ならば

$\operatorname{rep} F \overset\exists\cong \operatorname{rep} G$

証明

$\mathcal{A}(\operatorname{rep} F, A) \cong FA \cong GA$

命題.3

$\operatorname{rep} F \overset\exists\cong \operatorname{rep} G$

かつ

$\operatorname{Rep}(F) \neq \emptyset$ or $\operatorname{Rep}(G) \neq \emptyset$

ならば

- $\mathcal{V}$ -natural in $A$

証明

$FA \cong \mathcal{A}(\operatorname{rep} F, A) \cong \mathcal{A}(\operatorname{rep}G,A) \cong GA$

Existence-compatibility @error

$\mathcal{V}$ -functor:

$F,G : \mathcal{A} \to (\mathcal{V})$

について

- $\mathcal{V}$ -natural in $A$

のとき

- ただし、左辺(右辺)が存在すれば、右辺(左辺)も存在する

と書く。ただし書きの部分はしばしば省略される。

Weighted limit - PS 等々、ほとんど何もかも representaion の一種であることに注意する。

Existence-compatibility @deprecated

証明の読み方 @deprecated

数式内のコメント

$\because$ の記号がよく使われると思うが、参考文献の

$\lbrace \dots \text{comment} \dots \rbrace$ を同値記号に添える

という感じの記法だと上からも下からも読みやすい(かもしれない)。

参考文献

Kan.pdf