PS

Limit-cylinder

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。

記法.1 @deprecated

以下、Currying の記法 を使って

  •  T : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack
  •  T := B \mapsto K \mapsto \mathcal{B}(B, GK)
    •  G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}

とする。

記法.1'

以下、Lambda 記法 - PS を使って

  •  T : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack
  •  T := \lambda _ B \lambda _ K \mathcal{B}(B, GK)
    •  G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}

とする。

Cylinder

 \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack _ 0-morphism:

  •  F \to TC
    •  F : \mathcal{K} \to (\mathcal{V})

のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により  \mathcal{V}-natural transformation:

  •  \mathcal{B}(B, C) \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack (F, TB )
    • natural in  B

に対応する。

Limit-cylinder

特に、対応する  \mathcal{V}-natural transformation が isomorphism になっている cylinder のこと。つまり weighted limit:

  •  \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ F G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack (F, TB )

に対応する cylinder:

  •  F \to T \operatorname{lim} ^ F  G

のこと。

命題.1

Limit-cylinder:

  •  \mu : F \to T \operatorname{lim} ^ F  G

 T _ 0-initial morphism

(逆は成立しない。)

証明

Universal morphism - PS の 「Natural Bijection による表現」より normal Yoneda bijection は natural isomorphism を universal morphism に対応させるのであったが、それが  \mu そのもの:


\begin{aligned}

     & \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ F G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack (F, TB ) \\

\mapsto & \lbrace \text{hom functor } \mathcal{V}_0(I, \unicode{0x2013}) \text{ preserves iso and naturality} \rbrace \\
        & \mathcal{B} _ 0(B, \operatorname{lim} ^ F  G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack _ 0 (F, T _ 0 B ) \\
\mapsto & \lbrace \text{definiton of normal Yoneda bijection} \rbrace \\
        & \mu

\end{aligned}

命題.2

Limit-cylinder:

  •  \mu : F \to T \operatorname{lim} ^ F G

が存在し、ある cylinder:

  •  \sigma : F \to TL

 T _ 0-initial morphism ならば、これも limit-cylinder。

証明

Universal morphism は unique up to iso なので

  •  T _ 0(\exists \cong) \circ \mu = \sigma

となるが、左辺の Yoneda bijection による対応には、 T \mathcal{V}-functoriality により自明な inverse を作れる。

記法.2

Enriched functor category - PS の系による対応を使って

  •  \beta _ A := \tilde{\beta} _ A
    •  \beta : \lbrack \mathcal{A}, \mathcal{B} \rbrack _ 0-morphism

と書く。

命題.3

 \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack _ 0-morphism:

  •  \tau : F \to TA
  •  \sigma : F \to TB

および  \mathcal{B} _ 0-morphism:

  •  f : B \to A

について

  •  T _ 0(f) \circ \tau = \sigma \iff \forall K, \mathcal{B} (f, 1 _ {GK}) \circ \tau _ K = \sigma _ K

証明

 T の定義と Enriched functor category - PS の系による。

 \tau T _ 0-initiality は

  •  \forall \sigma : F \to TB, \exists ! f : B \to A, \forall K, \mathcal{B} (f, 1 _ {GK}) \circ \tau _ K = \sigma _ K

参考文献