PS

Enriched Kan extension

以下、Lambda 記法 - PS を使う。

Right Kan extension

 \mathcal{V}-functor:

  •  K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}
  •  G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}

について、要件:

任意の

  •  \mathcal{V}-functor:  F : \mathcal{C} \to (\mathcal{V})
  •  B \in \operatorname{ob} \mathcal{B}

について

f:id:mbps:20150801110908p:plain

を満たす

  •  \mathcal{V}-functor:  T : \mathcal{C} \to \mathcal{B}
  •  \mathcal{V}-natural transformation:  \psi : T \circ K \to G

のペアのことを right kan extension of  G along  K といい、特に  T を(一つ選んで)

と書く。また、 \psi をその counit という。

記法

  •  \operatorname{lim} ^ {FKA} _ A GA \cong \operatorname{lim} ^ {FC} _ C (\operatorname{Ran} ^ K G)C

命題: Right Kan extensions via weighted limits

上記の定義は、以下と同値:

任意の

  •  B \in \operatorname{ob} \mathcal{B}
  •  C \in \operatorname{ob} \mathcal{C}

について

f:id:mbps:20150801111549p:plain

記法

  •  (\operatorname{Ran} ^ K G)C \cong \operatorname{lim} _ A ^ {\mathcal{C}(C,KA)} GA

証明

「定義 ならば 命題」は参考文献の通り。「命題 ならば 定義」については


\begin{aligned}
      & \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (F, \lambda _ C \mathcal{B}(B,TC) ) \\
\cong & \lbrace \text{Every self-valued functor is a colimit of representables} \rbrace \\
      & \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (\operatorname{colim} _ D ^ {FD} \lambda _ C \mathcal{C}(D,C), \lambda _ C \mathcal{B}(B,TC) ) \\
\cong & \lbrace \text{Hom functors preserve limits} \rbrace \\
      & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \lbrack \mathcal{C},(\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ C \mathcal{C}(D,C), \lambda _ C \mathcal{B}(B, TC) ) \\
\cong & \lbrace \text{limit iso} \rbrace \\
      & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} _ C ^ {\mathcal{C}(D,C)} TC ) \\
\cong & \lbrace \text{Yoneda} \rbrace \\
      & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B,TD) \\
\cong & \lbrace \text{assumption} \rbrace \\
      & \operatorname{lim} ^ {FD} _ D \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ {\mathcal{C}(D,KA)} _ A GA) \\
\cong & \lbrace \text{limit iso} \rbrace \\
      & \operatorname{lim} _ D ^ {FD} \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack ( \lambda _ A \mathcal{C}(D,KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B, GA) ) \\
\cong & \lbrace \text{Hom functors preserve limits} \rbrace \\
      & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\operatorname{colim} ^ {FD} _ D \lambda _ A \mathcal{C}(D, KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\
\cong & \lbrace \text{pointwise colimits} \rbrace \\
      & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A \operatorname{colim} _ D ^ {FD} \mathcal{C}(D,KA), \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\
\cong & \lbrace \text{symmetry of colimits} \rbrace \\
      & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A \operatorname{colim} _ D ^ {\mathcal{C}(D,KA)} FD , \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\
\cong & \lbrace \text{co-Yoneda} \rbrace \\
      & \lbrack \mathcal{A}, (\mathcal{V}) \rbrack (\lambda _ A FKA, \lambda _ A \mathcal{B}(B,GA) ) \\

\end{aligned}

これを計算する!?と確かに 定義.1 のような形になる。特に colimit iso の naturality に注意する。

一意性

上記の命題 より

  •  TC \cong \operatorname{lim} _ A ^ {\mathcal{C}(C,KA)} GA \cong T'C
  •  T'KA \cong TKA \overset{\psi}{\to} GA = T'KA \overset{\psi'}\to GA

命題: Kan counits from weighted limits

Weighted limits の族:

  •  \big( \operatorname{lim} ^ {\mathcal{C}(C,KA)} _ A GA \big) _ C

が存在すれば、right Kan extension を作るのに十分。

証明

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とすれば

 (\lambda _ C \operatorname{lim} ^ {\mathcal{C}(C,KA)} _ A GA, \psi) が right Kan extensions via weighted limits。

参考文献

*1:添字が下に来られると lambda 記法で困るので勝手に上にしました