PS

Free enriched category

圏論定義命題 Enriched Free

Free enriched category

1-category $\mathcal{L}$ について $\mathcal{V}$ -category:

$\mathcal{L} _ {\mathcal{V}}$

を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。

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これは monoidal functoriality により確かに $\mathcal{V}$ -category になる。

Enriching 2-functor

上記と同様にして Unit-copower monoidal functor - PS を被せれば、2-functor:

- $\mathbf{CAT}$ : 2-category of 1-categories
- $\operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}}$ : 2-category of $\mathcal{V}$ -categories

を定義できる。

Underlying 2-functor

自明な forgetful 2-functor:

$(\unicode{0x2013}) _ {0} : \operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}} \to \mathbf{CAT}$

を定義できる。

命題

上記の二つの 2-functor は 2-adjunction:

$(\unicode{0x2013}) _ {\mathcal{V}} \dashv (\unicode{0x2013}) _ 0$

を成す。

証明

Unit と counit:

1-functors: $\eta _ {\mathcal{L}} : \mathcal{L} \to (\mathcal{L} _ {\mathcal{V}}) _ 0$
$\mathcal{V}$ -functors: $\epsilon _ {\mathcal{A}} : (\mathcal{A} _ 0) _ {\mathcal{V}} \to \mathcal{A}$

をそれぞれ以下のようにすればよい(と思う)。

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参考文献