Conical limits in enriched categories

定義: 1-limits

- - 1-functor: $G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}$

命題: 1-limits via weighted limits

- $G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}$

証明

~~Representability による limit - PS による。~~

$\operatorname{1-nat} _ K(B, GK) \cong \operatorname{1-nat} _ K( \lbrace \ast \rbrace, \mathcal{B}(B, GK) )$

による。

命題

1-functor:

- 1-category: $\mathcal{L}$
- $\mathcal{V}$ -category: $\mathcal{B}$

について、Free enriched category - PS による 2-adjunction:

$\mathbf{CAT}(\mathcal{L}, (\mathcal{V}) _ 0) \cong \operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}}(\mathcal{L} _ {\mathcal{V}}, (\mathcal{V}) )$

を使うと

- $\mathcal{V}$ -natural in $B$

ただし

$\Delta I : \mathcal{L} \to (\mathcal{V}) _ 0$
$\lambda _ K \mathcal{B}(B, TK) := \mathcal{L} \overset{T}{\to} \mathcal{B} _ 0 \overset{\mathcal{B}(B, \unicode{0x2013})}{\to} (\mathcal{V}) _ 0$

とした。

証明

まず、左辺は $B$ について $\mathcal{V}$ -functorial であったので $\mathcal{V}$ -natural-looking であれば右辺を $\mathcal{V}$ -functorial にするのに十分。

$\begin{aligned} & \big\lbrack X, \lbrack \mathcal{L} _ {\mathcal{V}}, (\mathcal{V}) \rbrack( \overset{\sim}{\Delta I}, \lambda _ K \mathcal{B}(B, \overset{\sim}{T}K ) ) \big\rbrack \\ \cong & \lbrace \text{functor category} \rbrace \\ & \big\lbrack X, \textstyle\int _ K \lbrack \overset{\sim}{\Delta I} K, \mathcal{B}(B, \overset{\sim}{T} K) \rbrack \big\rbrack \\ \cong & \lbrace \text{end} \rbrace \\ & \operatorname{\mathcal{V}-nat} _ K \big(X, \lbrack \overset{\sim}{\Delta I}K, \mathcal{B}(B, \overset{\sim}T K ) \rbrack \big) \\ \cong & \lbrace \text{flip} \rbrace \\ & \operatorname{\mathcal{V}-nat} _ K \big( \overset{\sim}{\Delta I} K, \lbrack X, \mathcal{B}(B, \overset{\sim}T K ) \rbrack \big) = \operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}}(\mathcal{L} _ {\mathcal{V}},(\mathcal{V}) )\big( \overset{\sim}{\Delta I}, \lambda _ K \lbrack X, \mathcal{B}(B, \overset{\sim}T K ) \rbrack ) \big) \\ \cong & \lbrace \text{isomorphic 1-functor of the 2-adunction} \rbrace \\ & \mathbf{CAT}(\mathcal{L},(\mathcal{V}) _ 0) \big( \Delta I, \overset{\sim}{\lambda} _ K \lbrack X, \mathcal{B}(B, \overset{\sim}T K ) \rbrack \big) \\ \cong & \lbrace \text{naturality of the 2-adjunction} \rbrace \\ & \mathbf{CAT}(\mathcal{L},(\mathcal{V}) _ 0) \big(\Delta I, \lambda _ K \lbrack X, \mathcal{B}(B, TK) \rbrack \big) = \operatorname{1-nat} _ K (I, \lbrack X, \mathcal{B}(B,TK) \rbrack ) \\ \cong & \lbrace \text{flip} \rbrace \\ & \operatorname{1-nat} _ K ( X, \lbrack I, \mathcal{B}(B, TK) \rbrack ) \\ \cong & \lbrace \text{close} \rbrace \\ & \operatorname{1-nat} _ K ( X, \mathcal{B}(B, TK) ) \\ \end{aligned}$