PS

Enriched Kan adjoints

圏論 Enriched Kan-extension

定義: Precomposition functor

Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の \lbrack -,= \rbrack を使って、

  • \unicode{0x2013} \circ K : \lbrack \mathcal{C}, \mathcal{B} \rbrack \to \lbrack \mathcal{A}, \mathcal{B} \rbrack
  • \unicode{0x2013} \circ K := \lbrack K, 1 _ \mathcal{B} \rbrack
    • K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}

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命題

Left Kan extension:

  • \phi : G \Rightarrow (\operatorname{Lan} ^ K G) \circ K
    • K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}
    • G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}

について

  • \lbrack \mathcal{C}, \mathcal{B} \rbrack(\operatorname{Lan} ^ K G, S) \cong \lbrack \mathcal{A}, \mathcal{B} \rbrack(G, S \circ K)
    • \mathcal{V}-natural in S : \mathcal{C} \to \mathcal{B}

しかも、この representation の unit は \phi。

証明

参考文献の通り(に計算する)。

系: Kan adjoints

Left Kan extension の族:

  • (\phi _ G : G \Rightarrow (\operatorname{Lan} ^ K G) \circ K) _ {G : \mathcal{A} \to \mathcal{B}}

が存在するならば、adjunction:

  • \operatorname{Lan} ^ K \dashv \unicode{0x2013} \circ K
    • K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}

を作れる。しかも、この adjunction の unit は \phi。

参考文献