PS

String diagram による Yoneda lemma の証明

圏論 Yoneda String diagram

@deprecated

代わりに String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS を参照。

(･･･というよりそのための記法)

Yoneda lemma

  • \operatorname{Nat}(\Lambda _ X \operatorname{Hom}(X,C), F) \cong FC
    • F : \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \to \mathcal{Set}

記法.1

Contravariant なので逆さにするんだけど紙面の都合上、

  • g : A \to B

について

f:id:mbps:20160201215516p:plain

と書くことにする。

記法.2

Natural transformation:

  • \vartheta : \Lambda _ X \operatorname{Hom}(X,C) \to F

を次のように描く:

f:id:mbps:20160129202901p:plain

その naturality は:

f:id:mbps:20160129202907p:plain

Yoneda bijection

f:id:mbps:20160129202913p:plain

証明

  • F の functoriality より、左下は確かに X について natural。
  • \vartheta の naturallity より、確かに bijection。
  • \vartheta の naturallity より、 C について natural。
  • F についての naturality は明らか。

参考文献