PS

Yoneda embedding in string diagrams

圏論 Yoneda String diagram

(String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS の続き･･･)

Variance を？マークの向きで表すことにする。

Contravariant Yoneda bijection

f:id:mbps:20160303095931p:plain

定義: Yoneda embedding

f:id:mbps:20160303095937p:plain

記法

Natural transformation:

  • (\tau _ X : \operatorname{Hom}(X,A) \to \operatorname{Hom}(X,B) ) _ X

を次のように表す:

f:id:mbps:20160303095944p:plain

命題

  • Yoneda embedding は fully-faithful。

証明

Contravariant Yoneda bijection で特に F := \Lambda _ X \operatorname{Hom}(X,B) とすると

f:id:mbps:20160303095952p:plain

となり、 \varphi ^{-1} は Yoneda embedding と一致しているので。

参考文献