Godement product

$\unicode{x2013}(\unicode{x2013}) : \mathcal{D} ^ {\mathcal{C}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$
$\eta(f) = \eta _ B \circ F(f) = G(f) \circ \eta _ A$

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Naturality square の対角線を返すもの。

Functor:

と、natural transformation:

について、Godement product(horizontal composition) を evaluation functor を使って次のように定義する:

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$\star$ は、しばしば省略される。

なので bifunctor:

$(\unicode{x2013}) \star (\unicode{x2013}) : \mathcal{A} ^ \mathcal{B} \times \mathcal{B} ^ \mathcal{C} \to \mathcal{A} ^ \mathcal{C}$

を定義できる。

Godement product の functoriality:

$(\tau' \star \tau) \circ (\sigma' \star \sigma) = (\tau' \circ \sigma') \star (\tau \circ \sigma)$

のことを iterchange law という。

特に、identity natural transformation との Godement product を、whiskering という:

$S' \tau := S' \star \tau := 1 _ {S'} \star \tau = \big(S'(\tau _ C)\big) _ C$
$\tau' T := \tau' \star T := \tau' \star 1 _ {T} = \left(\tau' _ {TC}\right) _ C$
$T' \tau \circ \tau' S = \tau' \star \tau = \tau' T \circ S' \tau$ (sliding equality, interchange law of whiskering)
$1 _ \mathcal{B} \star \tau = \tau = \tau \star 1 _ \mathcal{C}$
$S' \star \Delta f = \Delta(S'(f))$ *1

特に、whiskering も functorial。

*1:constant natural transformation