Empty category Empty category を以下のように定義できる: 残りは省略 Empty diagram Domainがempty categoryのdiagramのこと。Empty diagramのことを と書くことにする。 Terminal object @deprecated Empty diagram へのcone は、vertex と本質的に等しい…

Discrete category Category について、以下の二つの要件を満たすものをdiscreate categoryという。 任意の について つまり、morphismが しかないcategory。Discrete categoryはpreorderである。 Discrete diagram Domainがdiscreteなdiagramのこと。このよ…

@deprecated Constant functor Category と について、constant functorを次のように定義できる: Cone Cone: とは、以下から成る代数的構造 である: functor: (base) -object: (vertex) natural transformation: (components) つまりconeとは、domainがconst…

Natural transformation Category について、natural transformation: とは、以下から成る代数的構造 である: functor: (domain) functor: (codomain) -morphism族: (components) *1 これらは次の要件をみたさなければならない: *2 (naturality) Natural tra…

Preorder category Category について、 *1 が成立するとき、preorder categoryという。 つまり、domainとcodomainが等しいmorphism同士は等しい、というcategory。 Diagram Category について、functor: を、diagram in of shape という。 関数の略記法が「…

Locally small category Category について が成立するとき、locally small category*1という。 が集合であることは要求されない。集合は類なので、類 の部分類になりうる(ということか)。 以下、 はlocally smallであるとすると、次のようなfunctorが定義で…

Subcategory @error Category と について、以下を満たすとき、 を のsubcategoryといい、(思い切って) と書くことにする。 *1 このようなfunctor が存在するならば、明らかにただ一つ定まる。 (この定義が一番シンプルだと思うが･･･) Inclusion functor @er…

を任意のcategoryとする。 任意の について次のように定義する: Monomorphism ただし、式を未定義にするような の場合は除く*1。以下も同様とする。 Epimorphism Bimorphism Isomorphism このような が存在するとき、明らかにただ一つに定まるので、 と書く…

Morphism category 任意のcategory について、morphism category: を次のように定義できる: Morphism間のhomomorphismを定義した、ということ。 Function category (とでも呼べばいいのだろうか。) 上の定義はなんだかよく分からない？が、特に のmorphism c…

Product category 任意の category と について、product category: を次のように定義できる: *1 Projection functor 任意の product category について、projection functor: を定義できる。 Bifunctor Domain が product category になっている functor の…

Opposite category 任意のcategory について、opposite category: を次のように定義できる: 他は全て のものと同じ Contravariant functor Contravariant functor とは、functor のことである。 対して普通のfunctorをcovariant functorという。 Opposite fu…

Small category 任意のCategory について、二つの類: が両方とも集合であるとき、small categoryという。 Category of small categories Category を次のように定義できる: 「任意のcategory について」を「任意の について」と書きたかったが、 さえ含まれ…

Composite functor 任意の二つのfunctor: について、composite functor: を次のように定義できる: (この はobjectまたはmorphismで、まとめて定義した。) 参考文献 isbn:0521283043

Identity functor 任意のcategory について functor を以下のように定義する: (この はobjectまたはmorphismで、まとめて定義した。) これより簡単なfunctorは無さそうだ。添字の はしばしば省略される。 参考文献 isbn:0521283043

Category of sets Category を次のようにして定義できる: (これで良さそうだが厳密な定義を発見できず･･･) Structured set Structured setとは、以下から成る代数的構造 である(と思う)。 一つの集合: (underlying set) A上の演算子の族 (structure) つまり…

Functor, 関手 Functor とは、 以下から成る代数的構造 である: category: (domain) category: (codomain) 関数: 関数: これらは以下の三つの要件(functoriality)を満たさなくてはならない。 任意の について 上の演算子には上に点をつけておいた。 記法 参…

Function, 関数 (どうも前の定義ではうまくいかなくなってしまったので再定義･･･) 関数: とは、以下から成る代数的構造 である: 集合: (domain) 集合: (codomain) 部分集合: (graph) これらは以下の要件を満たさなくてはならない。 に応じてただ一つ存在する…

Category, 圏 Category: とは、以下から成る代数的構造 である: 類: (objects) 類: (morphisms) 関数: (domain of) 関数: (codomain of) 関数: (composite of) 関数: (identity of) ただし、 とした。 これらは以下の四つの要件を満たさなくてはならない。 …

ラッセルのパラドックス この集合は自分自身を元として含んでしまい、元にアクセスしようとするとスタックがとぶに違いないので何とかしたい。 類, Class 上の集合は不正なものにして、新たに集合と同様の機能(関係や関数など)をもった類というのを設ける。 …

Union, 和集合 集合族 について を と書き、集合族 のunionと呼ぶ。つまり、 Disjoint union 集合族 について を と書き、集合族 のdisjoint unionと呼ぶ。 Coproduct 圏論においては、 の代わりに が使われ、coproductと呼ばれる。 Dependent sum 型理論に…

Cartesian product, 直積 集合族 について、の元の族: が を満たすとき と(個人的に)書く。このような族の集合を、 と書き、集合族 のcartesian productと呼ぶ。つまり、 Dependent product 型理論においては、 の代わりに や が使われる。 特に、型を添字集…

族, Indexed family を、Iを添字集合とするXの元の族といい、 と書く。関数適用も と書く。 略記法がいろいろあって ･･･元が集合のとき なぜただのでは駄目なのかは知らない。*1 族というのは関数のcodomainを(さらにはdomainも)省略する書き方で、無意識に…

無名関数, anonymous function 縦線つき矢印で対応を書く。 Placeholder syntax 簡単な関数の場合、placeholder syntaxが便利だ(この用語はScalaのもの)。 placeholderの記号はいろいろあって これらは全て、の意味である。一番上が広く使われているようだが…

任意の について 単射, injective のとき、fは単射である、という。このとき、圏論では、 と書くようだ。 全射, surjective のとき、fは全射である、という。このときの記号も欲しいが知らない。 全単射, bijective fが単射かつ全射であるとき、fは全単射で…

@deprecated A, Bを任意の集合とする。 二項関係, binary relation なるRを、「AとBの間の二項関係」と言い、Aを「Rのdomain」、Bを「Rのcodomain」と言う。 関数, function fが、AとBの間の二項関係であり、 を満たすとき、fを「AからBへの関数」と言い、 …

部分集合, subset 任意の集合A, Bについて を と定義する。 等しい集合 任意の集合A, Bについて を と定義する。 略記法 ド・モルガンの法則も覚えたまま使える。 方程式の解 「方程式を解く」とは、内包的記法をそれと等しい外延的記法で書き直すこと。 参…

矛盾 矛盾 を を満たす何らかの命題と定義する。 否定 命題Aの否定を と定義する。 vacuously true 矛盾の定義より、前提が矛盾している命題は結論がどうあれ真である。こういう命題をvacuously trueという(らしい)。 証明で便利な用語。 背理法 否定の定義…

ただ一つの存在, unique 「Fを満たすxがただ一つ存在する」という命題を、 と書き、 と定義する。 たいていこの定義をそのまま使って証明する。 (このブログの目標である)圏論は、こういう命題だらけである。 は非常に便利な記号だと思うが、教科書ではあま…

任意の･･･, for all 任意のxについて、F(x)が成立する これは、(説明になってないが)「xが何であれ、F(x)が成立する」という意味である。 記号を使って書くと、 「任意のxについて」の部分が省略されることがたびたびある。 その場合、xは(Scala等で言うとこ…

プログラミングが数学になる日、に備えるブログです。