PS

Parameterized representations in string diagrams

圏論 Representation String diagram

(String diagram から逸脱してきた気がするが･･･)

記法

Natural isomorphism:

  • \tau _ X : F(B,X) \cong \operatorname{Hom}(S _ B, X)
    • F : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \times \mathcal{A} \to \mathcal{Set}

を次のように描く:

f:id:mbps:20160307171122p:plain

命題

Functor:

  • F : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \times \mathcal{A} \to \mathcal{Set}

について、representation の族:

  • ( \big( \tau _ X ^ B : F(B,X) \cong \operatorname{Hom}(S _ B ,X) \big) _ X ) _ B

が存在するならば

  • S(B) = S _ B
  • \tau は natural in B

となる infrafunctor S : \mathcal{B} \to \mathcal{A} がただ一つ存在し、しかも functorial。

証明

S を次のように定義する:

f:id:mbps:20160307171137p:plain

参考文献