Open box の記法を使って Strong endofunctors in String diagrams - PS を更新。 Strength Naturality Coherence condition 参考文献 Comonadic Notions of Computation

("Open" functorial box - PS が便利なので描き方を更新) 1-category 1-functor 1-functorialilty 1-natural transformation 1-naturality 1-natural transformation @deprecated 参考文献 Strings and Stripes. Graphical Calculus for Monoidal Functors a…

(･･･と言っても String diagram での monoidal functor - PS と見た目は同じ) Lax functor Bicategory: について、lax functor とは、 のトリプルで以下を満たすもの: Binary functor を bifunctor と呼んでしまったので bifunctor とは呼べなくなっている。…

Strong endofunctors in String diagrams - PS の続き･･･ Strong monad が strong functor であり、さらに monad: になっているとき、以下を満たすものを strong monad という: 参考文献 Strong monad - Wikipedia, the free encyclopedia

以下、非常に怪しい･･･ Strong endofunctor Monoidal category において、strong endofunctor とは 1-endofunctor: 1-natural transformation: (strength) のペアで、もろもろの coherence 要件を満たすもの、であった。 Lax に対する strong と用語が被って…

以下、1-category において･･･ Monoidal category of endoprofunctors @ignore Bicategory of profunctors: で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category に固定すると、monoidal category: を作れる。 Bicategory of 1-profunctors Arrow-frag…

Symmetric closed monoidal category において･･･ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

Dual of... Enriched end - PS Enriched end functor - PS Preservation of ends - PS 以下、symmetric closed monoidal category において･･･ 定義: Coend -functor について 定義: Coend 1-functor 命題: Internal hom functors send coends to ends 証明 …

In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…

Fork 命題 Equalizer と にならって大文字と小文字でいいと思う。 参考文献 fork in nLab Equaliser (mathematics) - Wikipedia, the free encyclopedia

Arrow laws (･･･やっぱりつらいので左右逆にならないようにする) 以下、水平方向は考えないで、垂直方向のみ 1-category の composition とする。 メモ 「1.」と「 2.」は の functoriality。 「6.」は の についての extranaturality。 ただし、naturality …

(･･･というのは少し嘘かもしれない) Catamorphisms Free monad - PS の より･･･ Free monad 参考文献 Haskell for all: Why free monads matter Control.Monad.Free

再帰の圏論的表現。 Right trace Monoidal category において、natural transformation*1: で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける: Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal ca…

Identity functor Constant functor Traversable functor Traversable functor laws Traversable functor - PS より･･･ foldMap/foldr 参考文献 Foldable and Traversable - Jakub Arnold Blog

@deprecated 代わりに Applicative functors in string diagrams rev.2 - PS を参照。 以下、curry/uncurry したものは区別にしないことにする。 (右足を上げたり下げたりするだけ) Applicative functor Applicative functor laws Monoidal functors via app…

Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow

Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…

Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って･･･ callCC ･･･かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

@deprecated 代わりに Reader monad transformers in string diagrams - PS を参照。 Constant morphism Reader monad を たちにばらまいている。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Monoidal category にて･･･ Diagonal morphism Naturality Terminating morphism (とはたぶん呼ばない) Naturality これらは、より一般には cartesian monoidal category のときに作れる。 State monad get/put 参考文献 [1203.0202] Pictures of Processes:…

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

(の定義が抜けていたので･･･) Preservation of ends -functor: および -end: について が -end となること。 記法 命題: Internal hom functors preserve ends (と呼ぶのが良さそう) 証明 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

Constant enriched functor Unit category からの constant functor を と定義できる。 命題 Unlambda は iso。 証明 Power 上記の命題により、constant -functor の weighted limit と existence-compatible: 特に のとき、flip iso により記号に矛盾はない…

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

以下、Lambda 記法 - PS を使う。 Right Kan extension -functor: について、要件: 任意の -functor: について を満たす -functor: -natural transformation: のペアのことを right kan extension of along といい、特に を(一つ選んで) *1 と書く。また、 …

やっぱり lambda 記法の方が読みやすい。*1 Lambda 記法 と書くことにする*2と、例えば Pointwise weighted limits - PS は となって覚えやすい(と思う)。 と も区別しなくてよくなる。 Unlambda (Evaluation) 特に、Enriched functor category - PS で使っ…