Has exponentialsなcategory と -object について･･･ Exponentiation functor Covariant hom functor を定義できる。 命題 特に のとき、 つまり、関数のexponentiationは、compositionする高階関数。 参考文献 Category Theory (Oxford Logic Guides)

Whiskering functor (と呼んでいいと思う) postcomposition functorというのが正解らしい。 category functor について、whiskering functor : を定義できる。Functorとnatural transformationのcomposition。 Transposed functor Bifunctor: について、tran…

記法 Functor へのconeの集合を とし、limiting coneの集合を とする。 Whiskering function (という用語はないかもしれないが･･･) Functor: について、関数: *1 を定義できる。 Creation of limits creates のとき、 creates limits for という。 Preservat…

(一般化しても正しい用語なのか分からないが･･･) 関数: 部分集合の族: について Preservation のとき、 preserves という。 このとき、関数: を作ることが出来る。 Reflection のとき、 reflects という。 Lifting のとき、 lifts という。 Unique lifting …

命題 Domainがsmallなfunctor: について、singleton setから へのconeの集合を とすると なる関数族: は、 のlimiting coneになっている: Products 特に、 がdiscreteのときは、coneのnaturalityがtrivialなので となり、確かにproductになっている。 参考文…

Reflection Inclusion functor: について、initial morphism: を -reflection という。 Reflector -reflectionの族: が存在すれば、これをunitとするadjunction: を作ることができる。このfunctor を -reflector という。 Reflective subcategory Reflector…

Universal morphismが族になるとadjunctionになる。 命題 Functor: について、-terminal morphismの族: が存在すれば、 となるようなfunctor: を一意に作ることができる: このとき、 は、adjunction: のcounitになる。 逆に、counit-adjunctionは、もちろんt…

Congruence relation Equivalence relationの族: が、以下を満たすとき、category 上のcongruence relationと言う。 *1 これは、 と同値。 Quotient category Category 上のcongruence relation について、quotient category: を次のように定義できる: *2 Ge…

Evaluation functor Naturality square の対角線を返すもの。 Godement product Functor: と、natural transformation: について、Godement product(horizontal composition) を evaluation functor を使って次のように定義する: は、しばしば省略される。 …

Haskell(kan-extensions)のYoneda functor: newtype Yoneda f a = Yoneda { runYoneda :: forall b. (a -> b) -> f b } を攻略する試み。 Yoneda lemmaのdual版 Category Theory (Oxford Logic Guides) のyoneda lemmaから を使えば、dual版を作ることができ…

CoYoneda data CoYoneda f a = forall b. CoYoneda (b -> a) (f b) は、圏論っぽくかくと、morphism族: のこと Parametricity theorem Parametricity theoremにより、なんやかんやで はnaturalになる(らしい)。 特に、 についてのnaturalityにより

# 参考文献 How to draw commutative diagrams in LaTeX with TikZ | A Beautiful Place

Comma category 二つのfunctor: について、comma category: のmorphismはこんな感じであった: Comma functor (と呼んでいいと思う) つまり、naturality squareを上下にくっつけるfunctorを返す。 Morphismの実装部(青色)は変化していない。 Hom functor 特に…

Pullback functor Category -morphsim について、pullback functor: を定義できる。 これは、limit functorの一種。 参考文献 Definition:Pullback Functor - ProofWiki Category Theory (Oxford Logic Guides)

Category of elements functor について、category of elements: とは comma category *1 のこと。 Category of coelements functor について、category of coelements: とは comma category のこと。 Coelements functor (とでも呼ぶことにする) *2 命題 *3…

Identity functor Composite functor について Diagonal functor *1 Product of functors について *2 Exponential functor -object について Swap functor (と呼んでいいと思う) Partial application について Evaluation functor Natural transformationの…

記法 functor: -object: constant functor: について･･･ Over category Over category*1: とは、comma category: のこと。 特に、 がdiagonal functorのときは、cone categoryのことである。 Under category Under category: とは、comma category: のこと。…

Bifunctor Domainがproduct categoryになっているfunctorのこと。 Partial application bifunctor -object について、functor: を定義できる。同様にして、functor: を定義できる。 命題 Natural in both X and Y Morphism族 がnaturalということ。 命題 bif…

@deprecated 替わりにPointwise construction of adjoints - PSを参照。 Limit functor Functor のlimiting coneを、diagonal functor を使って と書くとすると、limit functor: *1 を定義できる: この定義のもと、 はnaturalであるので、これをcounitとすれ…

Preservation of limits Functor: とする。 任意のlimiting cone: について、 とのwhiskering: がlimiting coneになるとき、 preserves limits of という。 記法 参考文献 preserved limit in nLab Limit (category theory) - Wikipedia, the free encyclope…

Evaluation functor Category について、evaluation functor: を定義できる。*1 と書くことにすると Swap functor Category について なるfunctorをswap functorと呼ぶことにする*2。これは明らかにisomorphism。 Yoneda embedding Locally small category …

Functorとnatural transformationのhorizontal composition。 @deprecated 替わりに Godement product - PS を参照。 Whiskering (と言うらしい)*1 natural transformation in functor について、natural transformation: を定義できる。同様に、 functor に…

動機 Isomorphismの要件を分割する。 ( は成立しない) Section Left-inverseを持つmorphismのこと。 Retraction Right-inverseを持つmorphismのこと。Split epimorphismともいう。 命題 命題 参考文献 Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats (D…

Functor と命題の族 について Preserves のとき、 preserves という。 Reflects のとき、 reflects という。 Respects ついでに、関数 と equivalence relation について、 とき、 respects という。 参考文献 isbn:0486469344

Category isomorphism (的なcategory)のisomorphismのこと。つまり、 and なるfunctor のこと。 このような は存在すればuniqueである。 命題 この要件が厳しすぎるのでゆるくするということ(らしい)。 Category equivalence and *1 なるfunctor のこと。 こ…

Bifunctor lemma Functor の族: が を満たすとき and *1 具体的には とすればよい。 系 Bifunctor: について ならば 参考文献 Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics) Category Theory (Oxford Logic Guides) Product of…

Lattice Has all finite products(meet, infimum)かつ、has all finite coproducts(join, supremum)なposetal category。 Bounded lattice Terminal object(greatest element)とinitial object(least element)を持つlattice。 Heyting algebra Has all expon…

Finite category 以下を満たすcategory のこと。 はfinite set はfinite set Small category 以下を満たすcategory のこと。 はset はset Finite diagram Domainがfinite categoryになっているdiagram。 Small diagramも同様に。 Has all finite (co)limits …

Skeletal category なるcategory。つまり、isomorphicと の意味が等しい。 Thin category なるcategory。 Preordered set (proset)から自明に作ることができる。 Commutative diagram Domainがthinなdiagram。 Groupoid category なるcategory。つまり、morp…

Subobject -monomorphism: について、 と定義すると、 はequivalence relationになるので、equivalence class: を のsubobjectといい、 が成立することから、 と書いてしまう。 Subobject category (･･･と呼ぶのか怪しいが) -object のsubobjectをobjectとす…