PS

Composition of adjunctions

圏論 命題 Adjunction

命題

Counit-unit-adjunction:

  • (F \dashv G, \epsilon, \eta) : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}
  • (F' \dashv G', \epsilon', \eta') : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{E}

について

  • (F'F \dashv GG', \epsilon' \circ F' \epsilon G', G \eta' F \circ \eta ) : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{E}

証明

\begin{equation} \label{eq1} \begin{split} (\epsilon' \circ F' & \epsilon G') F' F \circ F' F (G \eta' F \circ \eta) \\ = & \epsilon' F' F \circ F' \epsilon G' F' F \circ F' F G \eta' F \circ F' F \eta \\ = & \epsilon' F' F \circ F' (\epsilon G' F' \circ F G \eta' ) F \circ F' F \eta \\ = & \text{by sliding law} \\ & \epsilon' F' F \circ F' (\eta' \circ \epsilon) F \circ F' F \eta \\ = & \epsilon' F' F \circ F' \eta' F \circ F' \epsilon F \circ F' F \eta \\ = & (\epsilon' F' \circ F' \eta) F \circ F'(\epsilon F \circ F \eta) \\ = & \text{by triangle law} \\ & 1 _ {F'} F \circ F' 1 _ F \\ = & 1 _ {F' F} \circ 1 _ {F' F} \\ = & 1 _ {F' F} \end{split} \end{equation}

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Category of...

上記の composition により、left adjoint functor を morphism とする category を作ることができるが、category of adjunctions とは言えない。

参考文献