(･･･とでも呼ぶことにする) 命題 Pseudofunctor: を次のようにして定義できる: 参考文献 Arrows are Strong Monads.pdf

以下、1-category において･･･ Monoidal category of endoprofunctors @ignore Bicategory of profunctors: で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category に固定すると、monoidal category: を作れる。 Bicategory of 1-profunctors Arrow-frag…

Symmetric closed monoidal category において･･･ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において･･･ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS

命題 Coproduct と coequalizer から coend が作れる。 証明 -enriched functor: について とすると は coending cowedge になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory end in nLab

再帰の圏論的表現。 Right trace Monoidal category において、natural transformation*1: で、もろもろの coherence 要件を満たすもの。その要件により right trace を次のように描ける: Right trace を持つ monoidal cateogry を right traced monoidal ca…

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない･･･というのが Yoneda lemma？ 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

1-naturality of Yoneda bijections についての 1-naturality*1: 特に のときは 系 つまり で、かつ iso ならば iso 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory *1:comma category 間の 1-functoriality でもある

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

(･･･とでも呼んでみる) 以下、curry(close) bijection の箱の添字は省略する。 Copowers in 1-categories natural in Copower bijections 上記の natural isomorphism は copower injection: による bijection: により表すことができるのであった。 命題: Cl…

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…

Conical (co)limits Weighted (co)limit に対してフツーの (co)limit のことを conical (co)limit という。 *1 に注意すると、特に weight が constant functor: の場合の weighted (co)limit が conical (co)limit である: Category of elements Any set-va…

@deprecated 代わりに RAPL in string diagrams - PS を参照。 記法.1 の limiting cone を それへの mediator を と書いてしまうことにする。 記法.2 命題 Right Adjoints Preserve Limits: adjunction について ならば 証明.1 よって Universality - PS よ…

記法 Representation について と書くことにする。定義により 命題 -functor: について ならば preserves the 記法 証明 まず、Enriched representability - PS の命題より右辺は well-formed。 これを計算すると確かに Preservation of weighted limits - P…

記法.1 @deprecated と(勝手に)書くことにする。詳しくは Monoidal product of enriched categories - PS Self-enriched monoidal product - PS を使って 記法.2 命題 証明 系 Dual 証明 @deprecated 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (…

以下、Lambda 記法 - PS の記法を使う。 Pointwise weighted limits Pointwise weighted limits - PS より: Pointwise weighted colimits (怪しい)証明 @deprecated @deprecated Contravariant Yoneda embedding @deprecated 命題 証明 具体的には、以下の二…

Opposite category の記法 @deprecated とすると は functorial にならないことに注意する。 以下、この記法により variance を明示する。 Weighted limit @deprecated Weighted colimit @deprecated Commutativity Symmetricity of weighted colimits 証明 …

Currying の記法 @deprecated -functor: について、curry isomorphism により対応する -functor: を と書くことに(勝手に)する。 Lambda 記法 Lambda 記法 - PS を参照。 命題 -functor: について、weighted limit の族: が存在するならば (右辺は Enriched …

Fubini theorem.1 -functor: について 証明 1.について(2.も同様)･･･ 左辺から右辺: 右辺から左辺: Fubini theorem.2 証明 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory (2.1)

Hom-object adjunction -functor: (left adjoint) (right adjoint) および -natural isomorphism in : (adjoint iso) からなる代数的構造のこと。 Enriched representability - PS の命題により representation of の族: が存在すれば十分である。 命題 Hom-…

命題 Natural transformation: について 証明

Enriched Yoneda lemma with hom functors @deprecated -functor: について -natural in Enriched Yoneda lemma via weighted limits -functor: について -natural in 証明 Enriched Yoneda lemma - PS で特に とすると 証明 @deprecated Enriched Yoneda le…

(とでも呼んでみる) 命題.1 -enriched infrafunctor: variables for について -(extra)natural-looking in all variables -(extra)natural-looking in all variables ならば -natural-looking in 証明 のときは、普通の vertical composition。 のときは、 …

(これを一般化したものが Weighted limit - PS) Yoneda embedding bijection category: category of presheaves: について、Yoneda embedding: の各 component は、Yoneda bijection: となるのであった。 補題 上記の Yoneda bijection は、limiting cone を…

Curry isomorphism 以下、Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の補題の isomorphic 1-functor: を使用する。 Enriched fully-faithful functor -isomorphism の族になっている -functor のこと。 Enriched Yoneda embedding これは Yoned…

Flip bijection Curry bijection を二回重ねたもの(を勝手に): Enriched Yoneda lemma -functor: -object: について -natural in ただし、この -naturality は Enriched evaluation functor - PS Enriched end functor - PS により定義されるものとする。 証…

以下、 symmetric closed monoidal category: -functor: において･･･ Enriched wedge -extranatural な を -wedge to と呼ぶことにする。 1-category of enriched wedges -wedge to を 0-cell とする 1-category: を定義できる。 Wedge-set functor Hom func…

Symmetric closed monoidal category において･･･ 命題.1 -functor: -morphism の族: について、Yoneda bijection: は についての -(extra)natural-lookingness を preserve する。 命題.2 Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS で特に のとき 参考文献 B…