PS

Opposite natural transformation

圏論定義 Functor Natural transformation

Opposite morphism

in
- $\overset{\mathrm{def}}{\iff} B = B ^ \ast \overset{f ^ \ast }{\to} A ^ \ast = A$ in $\mathcal{C} ^ \mathrm{op}$ 　*1

命題

$(\unicode{x2013}) ^ \ast$ is not a covariant functor.
${} ^ \exists \mathcal{C} \not\cong \mathcal{C} ^ \mathrm{op}$
$\mathcal{C} = (\mathcal{C} ^ \mathrm{op}) ^ \mathrm{op}$
$F(f ^ \ast) = F(f) ^ \ast$
$F(f ^ \ast, g ^ \ast) = F(f,g) ^ \ast$
- $(f ^ \ast, g ^ \ast) = (f, g) ^ \ast$

Opposite functor

Functor:

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$

について、opposite functor:

$F ^ \mathrm{op} : \mathcal{C} ^ \mathrm{op} \to \mathcal{D} ^ \mathrm{op}$
$F ^ \mathrm{op}(f ^ \ast : B ^ \ast \to A ^ \ast ) := (Ff) ^ \ast : (FB) ^ \ast \to (FA) ^ \ast$

を定義できる。これにより

$(\unicode{x2013}) ^ \mathrm{op} : \mathcal{Cat} \overset{\sim}{\to} \mathcal{Cat}$

はfunctorial。

Opposite natural transformation

Natural transformation:

$\sigma : F \Rightarrow G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$

について、opposite natural transformation:

$\sigma ^ \mathrm{op} : G ^ \mathrm{op} \Rightarrow F ^ \mathrm{op} : \mathcal{C} ^ \mathrm{op} \to \mathcal{D} ^ \mathrm{op}$
$(\sigma ^ \mathrm{op}) _ {A ^ \ast} := (\sigma _ A) ^ \ast$

を定義できる。これにより

$(\unicode{x2013}) ^ \mathrm{op} : (\mathcal{D} ^ \mathcal{C}) ^ \mathrm{op} \overset{\sim}{\to} (\mathcal{D} ^ \mathrm{op}) ^ {\mathcal{C} ^ \mathrm{op}}$

はfunctorial。

参考文献

*1: $f ^ \mathrm{op}$ という記号にするとfunctorやnatural trasformationもmorphismなので意味があいまいになる