PS

HFPL in string diagrams

Limits in string diagrams - PS の記法を(無理やり)使って・・・

Hom functors

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命題.1: Hom functors preverse limits

  •  \textstyle\lim _ x : {\textstyle\lim} F \to Fx : limiting cone
    •  \implies \operatorname{Hom}(d,{\textstyle\lim _ x}) : \operatorname{Hom}(d,{\textstyle\lim} F) \to \operatorname{Hom}(d,Fx) : limiting cone

証明 @error

一般に currying はできない。代わりに String diagram による圏論まとめ - PS を参照。

Currying は naturality(conicality) を preserve することに注意すると

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命題.2

  •  \operatorname{Hom}(d,l) \cong \textstyle{\lim} _ x \operatorname{Hom}(d,Fx)
    •  \implies l \cong \textstyle\lim _ x Fx

証明

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とすると

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参考文献

  1. Preservation of limits - PS
  2. Generalized Abstract Nonsense.pdf

Universal morphisms in string diagrams

記号は Universal morphism - PS に準じる。

Terminal morphisms

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Universality

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Bijectivity

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参考文献

Yoneda embedding in string diagrams

(String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2 - PS の続き・・・)

Variance を?マークの向きで表すことにする。

Contravariant Yoneda bijection

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定義: Yoneda embedding

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記法

Natural transformation:

  •  (\tau _ X : \operatorname{Hom}(X,A) \to \operatorname{Hom}(X,B) ) _ X

を次のように表す:

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命題

  • Yoneda embedding は fully-faithful。

証明

Contravariant Yoneda bijection で特に  F := \Lambda _ X \operatorname{Hom}(X,B) とすると

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となり、 \varphi ^{-1} は Yoneda embedding と一致しているので。

参考文献

String diagram による Yoneda lemma の証明 rev.2

完全版(のつもり)。

記法

Functor  F : \mathcal{C} \to \mathcal{Set} について natural transformation:

  •  (\tau _ X : \operatorname{Hom}(A,X) \to FX) _ X \in \operatorname{Nat} _ X (\operatorname{Hom}(A,X),FX)

を以下のように描く:

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Naturality:

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を箱が筒抜けになっていることによって表現した。?ノードは無名関数の無名パラメータ。

この時点で証明は終わったも同然になる。

命題: Yoneda lemma

Functor  F : \mathcal{C} \to \mathcal{Set} について

  •  \operatorname{Nat} _ X (\operatorname{Hom}(A,X),FX) \cong FA
    • natural in  A,F

証明

Yoneda bijection

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とすると、左下は筒抜けなので確かに natural であることが分かる。

あとは以下を示せばよい・・・がいずれも明らか。

Bijectivity

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Naturality in  A

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Naturality in  F

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まとめ

では morphism を格上げしてるんだけど逆に natural transformation の方を格下げした方が分かりやすいと思う。

参考文献