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Functor

定義 Functor

Functor, 関手

Functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ とは、以下から成る代数的構造 $(\mathcal{C}, \mathcal{D}, F _ 0, F _ 1)$ である:

category: $\mathcal{C}$ (domain)
category: $\mathcal{D}$ (codomain)
関数: $F _ 0: \mathcal{C} _ 0 \rightarrow \mathcal{D} _ 0$
関数: $F _ 1 : \mathcal{C} _ 1 \rightarrow \mathcal{D} _ 1$

これらは以下の三つの要件(functoriality)を満たさなくてはならない。

任意の

$A , B \in \mathcal{C} _ 0$
$f , g \in \mathcal{C} _ 1$

について

$f : A \rightarrow B \Rightarrow F_1(f) : F _ 0(A) \dot{\rightarrow} F _ 1(B)$
$F _ 1(\text{id} _ A) = \dot{\text{id}} _ {F _ 0(A)}$
$(g, f) \in \mathcal{C} _ 2 \Rightarrow F _ 1(g \circ f) = F _ 1(g) \dot{\circ} F _ 1(f)$

$\mathcal{D}$ 上の演算子には上に点をつけておいた。

記法

$FA := F _ 0(A)$
$Ff := F _ 1(f)$
$F(f) := F _ 1(f)$

参考文献