PS

Adjunction

定義 Adjunction

Adjunction:

$F \dashv U$

の同値な定義がいろいろある。

Hom-set adjunction

以下から成る代数的構造:

functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (left adjoint)
functor $U : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ (right adjoint)
natural isomorphism $\big( \phi _ {C, D} : \mathcal{D}(F(C), D) \cong \mathcal{C}(C, U(D) \big) _ {C, D}$

命題

はnatural
- $\Leftrightarrow (\vartheta_{X, Y})_X$ と $(\vartheta_{X, Y})_Y$ は共にnatural

Counit-unit adjunction

以下から成る代数的構造:

functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (left adjoint)
functor $U : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ (right adjoint)
natural transformation $\epsilon : F \circ U \rightarrow 1 _ {\mathcal{D}}$ (counit)
natural transformation $\eta : 1_{\mathcal{C} } \rightarrow U \circ F$ (unit)

これらは次の要件をみたさなくてはならない:

$\epsilon F \circ F \eta = 1 _ F$ *1
$U \epsilon \circ \eta U = 1 _ U$

Universal morphismによる

以下から成る代数的構造:

functor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ (left adjoint)
functor $U : \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$ (right adjoint)
natural transformation $\eta : 1 _ {\mathcal{C} } \rightarrow U \circ F$ (unit)

これらは次の要件をみたさなくてはならない:

${} ^ \forall C \in \mathcal{C}, \eta _ C \text{ is initial morphism to } U$

Free functor

特に、right adjointがforgetful functorのとき、left adjointをfree functorという。

参考文献

*1:whiskering