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Productとequalizerからのlimit

圏論 命題 Limit

命題

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  • \mathcal{C} : \text{has products and equalizers}

へのsmall diagram:

  • F : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}

について、

  • \big( {\pi} _ a : {\prod} F _ 0 \rightarrow Fa \big) _ {a \in \mathcal{A} _ 0}

  • \big( \hat{\pi} _ f : \prod\limits _ { f' \in \mathcal{A} _ 1 } F _ 0( \text{cod}(f') ) \rightarrow F(\text{cod}(f) ) \big) _ {f \in \mathcal{A} _ 1 }

をそれぞれproductとする。ここで、

f:id:mbps:20140308225448p:plain

なる

  • \hat{\pi} へのmediator p, q

  • (p, q) のequalizer e

を採れば、

  • \big( \pi _ a e : E \rightarrow Fa \big) _ a

はlimiting coneになる。

証明

  • \hat{\pi}
  • (\pi _ a e) _ a

がそれぞれmono-sourceであることに注意する。

参考文献