PS

Dinatural transformation

圏論 定義

Difunctor

  • \mathcal{C}^{\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}

なるbifunctorのこと。二つの引数のvarianceが正反対になっているbifunctor。*1

Dinatural transformation

二つのdifunctor:

  • S, T : \mathcal{C} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}

について、 \mathcal{D}-morphismの族:

  • \big( \alpha _ c : S(c, c) \rightarrow T(c, c) \big)_{c \in \mathcal{C} _ 0 }

がdiagonal naturality(dinaturality):

f:id:mbps:20140306153355p:plain

を満たすとき、dinatural transformationという。

Dinatural transformationはcomposeできず、したがってmorphismにならない。

命題

Wedge

Domainがconstant functorになっているnatural transformationをconeといったが、
domainがconstant functorになっているdinatural transformation:

  • \big( \alpha _ c : d \rightarrow T(c, c) \big) _ {c \in \mathcal{C} _ 0 }

をwedgeという。

Extranaturality

特に、wedgeのdinaturalityをextranaturalityという:

f:id:mbps:20140306153413p:plain

End

Terminal coneのことを、limitといったが、terminal wedgeのことをendという。

Dualとして、cowedge、coendが定義される。

参考文献

*1:実際は、より一般的なprofunctorという用語しかないようである

*2:natural transformationのdiagonalがdinaturalということ