PS

Kan extensionによるadjunction @deprecated

圏論命題 Kan-extension

@Deprecated

替わりにAdjunction lifting - PSを参照。

命題

Functor:

$F\ :\ \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{A}$
$G\ :\ \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$

について、

*1
- $(\eps_a\ :\ FGa \rightarrow a)_a\ : \text{ right Kan extension of } 1_{\mathcal{A}} \text{ along } G$ *2
- $\text{and } (G \eps_a\ :\ GFGa \rightarrow Ga)_a\ : \text{ right Kan extension of } G \text{ along } G$ *3

そのdual:

- $(\eta_b\ :\ b \rightarrow GFb)_b\ : \text{ left Kan extension of } 1_{\mathcal{B}} \text{ along } F$
- $\text{and } (F \eta_b\ :\ Fb \rightarrow FGFb)_b\ : \text{ left Kan extension of } F \text{ along } F$

記法

$\text{Ran}_G 1_{\mathcal{A}} \dashv\ G$
$F \dashv\ \text{Lan}_F 1_{\mathcal{B}}$

参考文献

*1:universal morphismの族

*2:ひとつのuniversal natural transformation

*3: $G$ がKan extension $\eps$ をpreserveするということ