Co-Yoneda lemma in colimits

Co-Yoneda lemma - PS を( dinaturality でなく普通の) naturality の世界で表現するとこうなるらしい。

Every set-valued functor is a colimit of representables:

functor: $F : \mathcal{C} \to \mathcal{Set}$
forgetful functor: $\pi : (\mathsf{y} ^ - \downarrow \Delta F ) \to \mathcal{C} ^ \mathrm{op}$

について

$F \cong \mathrm{colim} \big( (\mathsf{y} ^ - \downarrow \Delta F ) \overset{\pi}{\to} \mathcal{C} ^ \mathrm{op} \overset{\mathsf{y} ^ -}{ \to } \mathcal{Set} ^ \mathcal{C} \big)$

具体的には

$(\alpha : (\mathsf{y} ^ - \circ \pi) (A, \alpha) \Rightarrow F ) _ { (A, \alpha) \in ( \mathsf{y} ^ - \downarrow \Delta F ) }$

が、colimiting cocone of $\mathsf{y} ^ - \circ \pi$ になる(と思う)。

Covariant Yoneda lemma:

による。特に、 $F$ についての naturality に注意する。

$\displaystyle\int ^ { \mathcal{C} } F := (\Delta(\lbrace \ast \rbrace) \downarrow F)$

$(\displaystyle\int ^ { \mathcal{C} } F) ^ \mathrm{op} \cong (\mathsf{y} ^ - \downarrow \Delta F)$

により

$F \cong \mathrm{colim} \big( (\displaystyle\int ^ { \mathcal{C} } F) ^ \mathrm{op} \to \mathcal{C} ^ \mathrm{op} \overset{\mathsf{y} ^ -}{ \to } \mathcal{Set} ^ \mathcal{C} \big)$

特に、 $\mathcal{C} := \mathcal{C} ^ \mathrm{op}$ とすれば、functor $F : \mathcal{C} ^ \mathrm{op} \to \mathcal{Set}$ *2について

$F \cong \mathrm{colim} ( \displaystyle\int _ {\mathcal{C}} F \cong ( \mathsf{y} \downarrow \Delta F ) \to \mathcal{C} \overset{\mathsf{y}}{ \to } \mathcal{Set} ^ {\mathcal{C} ^ \mathrm{op}} )$ *3

*1:返すのはcovariant

*2:presheaf

*3:Yoneda embeddingはcovariant版