PS

Reader monad

圏論 Monad Haskell

Opposite monoidal category

Monoidal category:

$(\mathcal{C}, \otimes, I, \alpha, \lambda, \rho)$

について

$(\mathcal{C} ^ \mathrm{op}, \otimes ^ \mathrm{op}, I ^ \ast, (\alpha ^ {-1} ) ^ \mathrm{op}, (\lambda ^ {-1}) ^ \mathrm{op}, (\rho ^ {-1}) ^ \mathrm{op} )$ *1

は、monoidal categoryになる(と思う)ので

$(\mathcal{C}, \otimes, I, \ldots) ^ \mathrm{op}$

と書くことにする。 *2

Comonoid object

そのopposite monoidal categoryにおけるmonoid objectのこと。

Trivial comonoid object

Monoidal category with finite limits:

$( \mathcal{C}, \times, 1)$

について

$E \in \mathcal{C}$
$! : E \to 1$ *3
$\langle 1 _ E , 1 _ E \rangle : E \to E \times E$

はcomonoid objectになる。

Yoneda monoidal embedding

$\mathsf{y} ^ - (E) := (\unicode{x2013}) ^ E \cong \mathrm{Hom}(E, \unicode{x2013})$ *4
$(\mathtt{uncurry} _ {E, E'}) _ A : (A ^ {E'}) ^ E \overset{\sim}{\to} A ^ {E \times E'}$
$u _ A : A \overset{\sim}{\to} A ^ {\lbrace \ast \rbrace}$

はmonoidal functor:

$(\mathsf{y} ^ -, \mathtt{uncurry}, u) : (\mathcal{Set}, \times, \lbrace \ast \rbrace) ^ \mathrm{op} \to (\mathcal{Set} ^ \mathcal{Set}, \circ, 1 _ {\mathcal{Set}} )$

になる。

Reader monad

Monads from monoidsにより、trivial comonoidを ${\mathsf{y} ^ -} _ \ast$ に渡せばmonadになる。

具体的には

$(\unicode{x2013}) ^ E$
$a \mapsto e \mapsto a$
$f \mapsto e \mapsto \mathtt{uncurry}(f)(e, e)$

がmonadを成す。

参考文献

*1:記法はOpposite natural transformation - PSを参照

*2:違う意味のoppositeもある(らしい)ので注意

*3:terminal objectとのmediator

*4:contravariant Yoneda embedding from sets