PS

Monoidal product of enriched categories

圏論 定義 Monoidal Enriched

Unit enriched category

Monoidal category \mathcal{V} := (\mathcal{V} _ 0, \otimes, I) について unit \mathcal{V}-category:

  • \mathcal{I}

を次のように定義できる:

  • \operatorname{ob}(\mathcal{I}) := \lbrace \ast \rbrace

f:id:mbps:20150325073718p:plain

f:id:mbps:20150325073730p:plain *1

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Monoidal product of enriched categories

  • symmetric monoidal category: \mathcal{V} := (\mathcal{V} _ 0, \otimes, I)
  • \mathcal{V}-category: \mathcal{A}, \mathcal{B}

について、 \mathcal{V}-category:

  • \mathcal{A} \otimes \mathcal{B}

を次のように定義できる:

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Monoidal product of enriched functors

\mathcal{V}-functor:

  • T : \mathcal{A} \to \mathcal{C}
  • S : \mathcal{B} \to \mathcal{D}

について、 \mathcal{V}-functor:

  • T \otimes S : \mathcal{A} \otimes \mathcal{B} \to \mathcal{C} \otimes \mathcal{D}

を次のように定義できる:

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Monoidal product of enriched natural transformations

\mathcal{V}-natural transformation:

  • \alpha : T \Rightarrow T'
  • \beta : S \Rightarrow S'

について、 \mathcal{V}-natural transformation:

  • \alpha \otimes \beta : T \otimes S \Rightarrow T' \otimes S'

を次のように定義できる:

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命題

(\operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}}, \otimes, \mathcal{I}) は symmetric monoidal 2-category*2 になる。

参考文献

*1:Kelly lemma - PS

*2:恐ろしいので定義はパス