Symmetric closed monoidal category において･･･ Profunctor なる形の -erirched functor のことを と書き、-enriched profunctor と呼ぶことにする。 1-category of profunctors Horizontal composition of profunctors Profunctor: について とすると coe…

(こちらもやっておくのが筋だろうということで) Symmetric closed monoidal category において･･･ 命題: Yoneda isomorphisms via coends 証明 Yoneda isomorphsim の flip を curry に変えるだけ: 参考文献 end in nLab Co-Yoneda lemma - PS

命題 Coproduct と coequalizer から coend が作れる。 証明 -enriched functor: について とすると は coending cowedge になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory end in nLab

Dual of... Enriched end - PS Enriched end functor - PS Preservation of ends - PS 以下、symmetric closed monoidal category において･･･ 定義: Coend -functor について 定義: Coend 1-functor 命題: Internal hom functors send coends to ends 証明 …

In symmetric monoidal categories... -enriched category の composition は というカタチで定義されることになっているので か の二択になってしまうのだが、特に、 が symmetric のときは とすれば良かった。 currying がややこしくなってしまう。 参考文…

(ふとひらめいたが役に立つかは分からない) Uncurried Functoriality A naturality Yoneda bijection 記法 命題 円周上で の functoriality や の naturality を使っても矛盾がない･･･というのが Yoneda lemma？ 参考文献 [0908.3347] A survey of graphical…

Identity functor Constant functor Traversable functor Traversable functor laws Traversable functor - PS より･･･ foldMap/foldr 参考文献 Foldable and Traversable - Jakub Arnold Blog

@deprecated 代わりに Applicative functors in string diagrams rev.2 - PS を参照。 以下、curry/uncurry したものは区別にしないことにする。 (右足を上げたり下げたりするだけ) Applicative functor Applicative functor laws Monoidal functors via app…

Identity monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Concatenation List monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Error monad Maybe monad の を にしただけ。 throw/catch 参考文献 All About Monads - HaskellWiki haskell - Is there no standard (Either a) monad instance? - Stack Overflow

Universality of coproducts Merge morphism Initializing morphism (とはたぶん言わない) Monoidal category with finite coproducts Cocartesian monoidal category ともいう。 命題 Maybe monad 参考文献 [1401.7220] Category Theory Using String Diagr…

Evaluation Continuation monad Flip bijection を使って･･･ callCC ･･･かえって分かりにくい。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

Writer monad 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

@deprecated 代わりに Reader monad transformers in string diagrams - PS を参照。 Constant morphism Reader monad を たちにばらまいている。 参考文献 All About Monads - HaskellWiki

@deprecated 代わりに Haskell-monads in string diagrams rev.2 - PS を参照。 Monoidal category にて･･･ Haskell-monad の flip 版を使った方が分かりやすいみたい。*1 Haskell-monad laws Kleisli composition Haskell-monad @deprecated Haskell-monad …

Basic Concepts of Enriched Category Theory というすごい本についての感想と補足･･･ 動機 Category Theory (Oxford Logic Guides) を読んでも Coyoneda らしきものが出てこない。 予備知識 Monoidal category の coherence 要件が(凡人には)複雑すぎて遅か…

命題: Limits in 証明 実装 補題: A reduction of limits in 命題: Hom functors preserve limits (Limits via limits in ) 証明 および、補題により確かに Preservation of weighted limits - PS の形になる。 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category…

定義: Precomposition functor Exponentiation 2-functor on enriched categories - PS の を使って、 命題 Left Kan extension: について -natural in しかも、この representation の unit は 。 証明 参考文献の通り(に計算する)。 系: Kan adjoints Left…

定義: 1-limits 1-functor: 命題: 1-limits via weighted limits 証明 Representability による limit - PS による。 による。 命題 1-functor: 1-category: -category: について、Free enriched category - PS による 2-adjunction: を使うと -natural in …

(の定義が抜けていたので･･･) Preservation of ends -functor: および -end: について が -end となること。 記法 命題: Internal hom functors preserve ends (と呼ぶのが良さそう) 証明 記法 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory

1-naturality of Yoneda bijections についての 1-naturality*1: 特に のときは 系 つまり で、かつ iso ならば iso 参考文献 Basic Concepts of Enriched Category Theory *1:comma category 間の 1-functoriality でもある

End 特に、 のとき、 preserves ends より記号に矛盾は無い。 Coend 命題: (Co)ends via weighted (co)limits existence-compatible 証明 命題: (Co)powers preserve (co)ends ただし、preservation of ends は (Co)ends via weighted (co)limits を通して P…

Constant enriched functor Unit category からの constant functor を と定義できる。 命題 Unlambda は iso。 証明 Power 上記の命題により、constant -functor の weighted limit と existence-compatible: 特に のとき、flip iso により記号に矛盾はない…

Free enriched category 1-category について -category: を Unit-copower monoidal functor - PS を使って次のように定義できる。 これは monoidal functoriality により確かに -category になる。 Enriching 2-functor 上記と同様にして Unit-copower mono…

以下、Lambda 記法 - PS を使う。 Right Kan extension -functor: について、要件: 任意の -functor: について を満たす -functor: -natural transformation: のペアのことを right kan extension of along といい、特に を(一つ選んで) *1 と書く。また、 …

やっぱり lambda 記法の方が読みやすい。*1 Lambda 記法 と書くことにする*2と、例えば Pointwise weighted limits - PS は となって覚えやすい(と思う)。 と も区別しなくてよくなる。 Unlambda (Evaluation) 特に、Enriched functor category - PS で使っ…

記法 *1 *2 Ends Fubini Yoneda bijections (Co)representations Yoneda Limits Colimits Limits in self-enriched categories Yoneda via (co)limits Fubini via (co)limits Powers Copowers Continuity in weights Ends in enriched categories Coends in …

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。 記法.1 @deprecated 以下、Currying の記法 を使って とする。 記法.1' 以下、Lambda 記法 - PS を使って とする。 Cylinder -morphism: のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により -natural…

記法 Representation について と書くことにする。定義により 命題 -functor: について ならば preserves the 記法 証明 まず、Enriched representability - PS の命題より右辺は well-formed。 これを計算すると確かに Preservation of weighted limits - P…