PS

"Extra"composition of enriched natural transformations

圏論命題 Enriched

(とでも呼んでみる)

命題.1

$\mathcal{V}$ -enriched infrafunctor:

$T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
- $2n+1$ variables for $n \geq 0$
$R : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$

について

$TA \overset{\alpha}{\to} S(A,B _ 1, B _ 1,\dotsc,B _ n,B _ n) : \mathcal{V}$ -(extra)natural-looking in all variables
$S(B _ 1,B _ 1,\dotsc,B _ n, B _ n, C) \overset{\beta}{\to} RC:\mathcal{V}$ -(extra)natural-looking in all variables

ならば

$TA \overset{\alpha}{\to} S(A,\dotsc,A) \overset{\beta}{\to} RA : \mathcal{V}$ -natural-looking in $A$

証明

$n = 0$ のときは、普通の vertical composition。
$n \gt 0$ のときは、 $\alpha$ と $\beta$ の $\mathcal{V}$ -(extra)naturality を交互に適用していく。

命題.2

$\mathcal{V}$ -enriched infrafunctor:

$S : \mathcal{A} ^ {\operatorname{op}} \otimes \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
- $2n$ variables for $n \gt 0$
$K : \mathcal{B}$ -object

について

$K \overset{\alpha}{\to} T(B _ 1, B _ 1,\dotsc,B _ n,B _ n) : \mathcal{V}$ -extranatural-looking in all variables
$T(A,B _ 1,B _ 1,\dotsc,B _ {n-1}, B _ {n-1}, C) \overset{\beta}{\to} S(A,C) : \mathcal{V}$ -(extra)natural-looking in all variables

ならば

$K \overset{\alpha}{\to} T(A,\dotsc,A) \overset{\beta}{\to} S(A,A) : \mathcal{V}$ -extranatural-looking in $A$

証明

命題.1 の証明と同様。

参考文献