PS

Arrow fragments are monoids

圏論命題定義 Profunctor Monoidal

以下、1-category $\mathcal{C}$ において･･･

Monoidal category of endoprofunctors @ignore

Bicategory of profunctors:

$\operatorname{\mathcal{Set}-\mathbf{PROF}}$

で、特に profunctor の domain と codomain を 1-category $\mathcal{C}$ に固定すると、monoidal category:

$\mathcal{Endoprof}$

を作れる。

Bicategory of 1-profunctors

$\mathbf{PROF} := \operatorname{\mathcal{Set}-\mathbf{PROF}}$

Arrow-fragment (pre-arrow)

Arrow-fragment (pre-arrow) over $\mathcal{C}$ とは

1-category: $\mathcal{A}$
1-functor: $\operatorname{arr} : \mathcal{C} \to \mathcal{A}$

のペアで

$\operatorname{ob}\mathcal{A} = \operatorname{ob}\mathcal{C}$
$\forall C \in \operatorname{ob}\mathcal{C}, \operatorname{arr}(C) = C$

を満たすもの。つまり、 $\mathtt{Arrow}$ から $\mathtt{first}$ を除いたもの。

Promonad

(という呼び名に賛成したい)

Monoid in $\mathbf{PROF}$ のこと。

命題

Arrow-fragment $(\mathcal{A},\operatorname{arr})$ と promonad $(A : \mathcal{C}^{\operatorname{op}} \times \mathcal{C} \to \mathcal{Set}, \eta, \mu)$ は同値。

証明

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とすればよい。特に $\eta$ の naturality に注意する。

参考文献