PS

Polynomial ring

定義

Sequence, 列

自然数を添字とする族:

$(s_i)_{i \in \mathbb{N}}$

のこと。

Polynomial, 多項式

Commutative ring $R$ について、polynomial over $R$ とは、以下を満たすsequence $(s _ i \in R) _ i$ のこと。

${} ^ \exists n \in \mathbb{N}, {} ^ \forall i \gt n, s _ i = 0$

このとき、 $(s _ i) _ i$ を、適当にvariable $x$ を選んで

$s _ n x ^ n + \cdots +s _ 1 x + s _ 0$

あるいは

$\sum\limits _{i = 0} ^ n s _ i x ^ i$

と書く。それぞれの $s _ i$ をcoefficientという。新たな族の表記法である。

Zero polynomial

常に $0 \in R$ を返すsequence $(0) _ i$ は明らかにpolynomialである。これを $0$ と書くことにする。

Degree, 次数

Polynomial $(s _ i) _ i$ が $0$ でないとき、明らかに

- $s _ n \neq 0$ and ${} ^ \forall i \gt n, s _ i = 0$

この $n$ を $(s _ i) _ i$ のdegreeといい、 $s _ n$ をleading coefficientという。

Polynomial ring

Commutative ring $R$ について、polynomial ring $(R[x], +, \cdot)$ を以下のように定義できる。

$R[x] = \lbrace s \mid s \text{ is a polynomial over } R \rbrace$
以下略

参考文献