PS

Equivalence class

定義 Limit

Equivalence relation

Reflexiveかつsymmetricかつtransitiveなbinary relationのこと。

Trivial equivalence relation

$X \times X$

は、equivalence relation on $X$ 。

Equivalence class

Equivalence relation on $X$ :

$\sim \subseteq X \times X$

について、

$\lbrace y \in X \mid x \sim y \rbrace$

を、equivalence class of $x$ modulo $\sim$ といい、

$[x] _ \sim$

と書く。添え字の ${}_\sim$ はたいてい省略される。

Quotient set

さらに、

$\lbrace [x] _ \sim \mid x \in X \rbrace$

を、quotient set of $X$ modulo $\sim$ といい、

$X/ _ \sim$

と書く。 $X$ を「クラス分け」したもの。

Canonical projection

$\pi : X \rightarrow X/ _ \sim$
$\pi(x) = [x] _ \sim$

のこと。これを抽象化したものが、coequalizerになる。

命題

$x \sim y \Leftrightarrow [x] _ \sim = [y] _ \sim$
$\pi : \text{surjective}$

Respects

Function $f : X \rightarrow Y$ が

$x \sim y \Rightarrow f(x) = f(y)$

を満たすとき、 $f$ respects $\sim$ という。このとき、

$\overline{f}([x] _ \sim) = f(x)$

とすれば、function:

$\overline{f} : X/ _ \sim \rightarrow Y$

を作ることができる。

Equivalence relation generated by A

Binary relation on $X$ :

$A \subseteq X \times X$

について、

$\displaystyle\bigcap \lbrace B : \text{equivalence relation on } X \mid A \subseteq B \rbrace$

は、 $A$ を含む最小のequivalence relation。

参考文献