PS

Category equivalence

定義 Functor

Category isomorphism

$\mathcal{Cat}$ (的なcategory)のisomorphismのこと。つまり、

- $F \circ G = 1 _ {\mathcal{D}}$
- and $G \circ F = 1 _ {\mathcal{C}}$

なるfunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ のこと。このような $G$ は存在すればuniqueである。

命題

$F : \text{iso} \Leftrightarrow (F _ 0, F _ 1 : \text{bijective})$

この要件が厳しすぎるのでゆるくするということ(らしい)。

Category equivalence

- $F \circ G \cong 1 _ {\mathcal{D}}$
- and $G \circ F \cong 1 _ {\mathcal{C}}$ *1

なるfunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ のこと。このような $G$ はuniqueとは限らない(らしい)。

Essentially surjective functor

${} ^ \forall D \in \mathcal{D} _ 0, {} ^ \exists C \in \mathcal{C} _ 0, F(C) \cong D$

なるfunctor $F : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ のこと。 Isomorphism-dense functorともいう。

命題

$F : \text{equivalence} \Leftrightarrow F : \text{full, faithful and essentially surjective}$
$F : \text{iso} \Rightarrow F : \text{equivalence}$
$F : \text{equivalence} \Rightarrow F : \text{left and right adjoint}$

Equivalent categories

間にequivalenceが存在するような二つのcategoryのこと。

参考文献

*1:functor categoryにおいてisomorphic