Exponentiation of functors

~~(と呼んでいいと思う)~~ postcomposition functorというのが正解らしい。

について、whiskering functor :

$F ^ {\mathcal{A}} : \mathcal{B} ^ {\mathcal{A}} \rightarrow \mathcal{C} ^ {\mathcal{A}}$
$F ^ {\mathcal{A}}(\sigma : G \rightarrow G') _ A = F(\sigma _ A) : (F \circ G)(A) \rightarrow (F \circ G')(A)$

を定義できる。Functorとnatural transformationのcomposition。

Bifunctor:

について、transposed functor :

$\langle D \rangle : \mathcal{X} \rightarrow \mathcal{C} ^ {\mathcal{A}}$
$\langle D \rangle _ 0(X) = D(X, -) : A \rightarrow C$ *1
$\langle D \rangle _ 1(f : X \rightarrow X') _ A = D(f, 1 _ A) : D(X, A) \rightarrow D(X', A)$

を定義できる。Functorのcurry化。

$\big( D(f, \unicode{x2013}) \big) _ f := \langle D \rangle$

について、evaluation functor :

$\epsilon _ {\mathcal{B}} : \mathcal{B} ^ {\mathcal{A}} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}$
$\epsilon _ {\mathcal{B}}(\sigma : G \rightarrow G', a : A \rightarrow A') = G'(a) \circ \sigma _ A = \sigma _ {A'} \circ G(a) : G(A) \rightarrow G'(A')$