PS

Power functors

圏論 定義 Power Bifunctor

記法

任意のuniversal morphism:

  • (\omega _ j) _ j

について、 (\tau _ j) _ j とのmediator \langle \tau \rangle _ {\omega} を、

  • \sum\nolimits _ j a _ j

のような感じで、

  • \omega _ j \langle \tau _ j \rangle

と書くことにする。

Power functor その1

Power projectionの族:

  • \left( (\pi ^ {J} _ j : b ^ {J} \rightarrow b)_{j \in J} \right) _ {J \in \mathcal{Set}}

が存在するならば、これをnaturalにするただ一つのcontravariant functor:

  • b ^ {(\unicode{x2013})} : \mathcal{Set} ^ {\text{op}} \rightarrow \mathcal{C}
  • b ^ {h : J \rightarrow J'} = {\pi} ^ J _ j \langle {\pi} ^ {J'} _ {h(j)} \rangle : b ^ {J'} \rightarrow b ^ {J}

を作ることが出来る。

Power functor その2

Power projectionの族:

  • \left( ( \pi ^ {b} _ j : b ^ {J} \rightarrow b ) _ {j \in J} \right) _ {b \in \mathcal{C}}

が存在するならば、これをnaturalにするただ一つのfunctor:

  • (\unicode{x2013}) ^ {J} : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}
  • (k : b \rightarrow b') ^ {J} = \pi ^ {b'} _ j \langle h \circ \pi ^ b _ j \rangle _ {} : b ^ {J} \rightarrow {b'} ^ {J}

を作ることが出来る。

Power bifunctor

Power functorの族:

  • ( b ^ {(\unicode{x2013})} : \mathcal{Set} ^ {\text{op}} \rightarrow \mathcal{C} ) _ b
  • ( (\unicode{x2013}) ^ {J} : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} ) _ J

がそれぞれ存在するならば、

  • (=) ^ {(\unicode{x2013})} : \mathcal{Set} ^ {\text{op}} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}

なるfunctorをBifunctor lemma - PSによって作ることが出来る(と思う)。

参考文献