PS

Strong endofunctor

圏論 Functor

Strength

monoidal category: $(\mathcal{C}, \otimes, I)$
endofunctor: $F : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$

について、strength for $F$ とは、natural transformation:

$( \sigma _ {A, B} : A \otimes FB \to F(A \otimes B) ) _ {A, B}$

で

$F(\alpha) \circ \sigma = \sigma \circ (1 \otimes \sigma) \circ \alpha$ *1
$F(\lambda) \circ \sigma = \lambda$

を満たすもの。

Strong endofunctor

上記のようにstrengthを持つendofunctorのこと。
用語がlax(普通のmonoidal functor)に対するstrongと被っているので注意。

命題

monoidal category: $( \mathcal{Set}, \times, \lbrace \ast \rbrace )$
endofunctor: $F : \mathcal{Set} \to \mathcal{Set}$

について、

$\sigma _ {A, B} : A \times FB \to F(A \times B)$
$\sigma _ {A, B} (a, c) := F(b \mapsto (a, b))(c)$

とすれば、

$(\sigma _ {A, B}) _ {A, B}$

はstrength for $F$ 。

参考文献

*1:添字は略