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Monadはapplicative

圏論 Monad Applicative Haskell 命題

命題

$(T : \mathcal{Hask} \to \mathcal{Hask}, {\tt return}, {\tt >>=} )$

について、

${\tt pure} := {\tt return}$
$mf\ {\tt \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}}\ mx := mf\ {\tt >>=}\ f \mapsto (mx\ {\tt >>=}\ {\tt return} \circ f)$

とすると、

$(T, {\tt pure}, {\tt \unicode{x003c} \unicode{x002a} \unicode{x003e}})$

は、applicative。

系

monoidal category: $(\mathcal{Set}, \times, { \lbrace \ast \rbrace } )$
monad: $(T : \mathcal{Set} \to \mathcal{Set}, \eta, \mu)$

について、

$\sigma _ {A, B} (x, y) := \mu _ {A, B} ( T \big( a \mapsto T( b \mapsto (a, b) )(y) \big) \big(x \big) )$
$u := \eta _ { \lbrace \ast \rbrace }$

とすると、 $(T, \sigma, u)$ はmonoidal endofunctor on $(\mathcal{Set}, \times, { \lbrace \ast \rbrace } )$ になる(と思う)。

参考文献