Enriched natural transformation

monoidal category: $\mathcal{V}$
$\mathcal{V}$ -functor: $T,S : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$

について $\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\alpha : T \Rightarrow S$

とは、 $\mathcal{V}$ -morphism の族:

f:id:mbps:20150325043234p:plain

で $\mathcal{V}$ -naturality:

f:id:mbps:20150325043245p:plain

を満たすもの。

Identity enriched natural transformation

$\mathcal{V}$ -functor $T : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ について identity $\mathcal{V}$ -natural transformation:

$1 _ T : T \Rightarrow T$

を次のように定義できる:

f:id:mbps:20150325043252p:plain

Vertical composition of enriched natural transformations

$\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\alpha : T \Rightarrow S$
$\beta : S \Rightarrow R$

について $\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\beta \cdot \alpha : T \Rightarrow R$

を次のように定義できる:

f:id:mbps:20150325043301p:plain

Horizontal composition of enriched natural transformations

$\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\alpha : T \Rightarrow S$
$\beta: Q \Rightarrow P$

について $\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\beta \star \alpha: QT \Rightarrow PS$

を次のように定義できる:

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2-category of enriched categories

上記の composition により

0-cell: $\mathcal{V}$ -category
1-cell: $\mathcal{V}$ -functor
2-cell: $\mathcal{V}$ -natural transformation

とすると 2-category:

$\operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}}$

になる。

2-category of 1-categories

$\mathbf{CAT}$ を 2-category of (small) 1-categories とすると定義により

$\operatorname{(\mathcal{Set},\times,\lbrace \ast \rbrace)-\mathbf{CAT}} = \mathbf{CAT}$

Underlying 1-natural transformation

$\mathcal{V}$ -natural transformation:

$\alpha : T \Rightarrow S$

について underlying natural transformation:

$\alpha _ 0 : T _ 0 \Rightarrow S _ 0$

を読み方を変えるだけで定義できる。

定義により

$(\alpha : \operatorname{\mathcal{V}-\mathrm{natural}} \text{ and } \alpha _ 0 : \mathrm{iso} ) \iff \alpha : \mathrm{iso}$

命題

$(\unicode{0x2013}) _ 0$ は 2-functorial:

$(\unicode{0x2013}) _ 0 : \operatorname{\mathcal{V}-\mathbf{CAT}} \to \mathbf{CAT}$

参考文献

Basic Concepts of Enriched Category Theory