Limit-cylinder

Weighted limit の limiting-cone 的なもの。

記法.1 @deprecated

以下、Currying の記法を使って

$T : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack$
- $G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}$

とする。

記法.1'

以下、Lambda 記法 - PS を使って

$T : \mathcal{B} ^ {\operatorname{op}} \to \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack$
- $G : \mathcal{K} \to \mathcal{B}$

とする。

Cylinder

$\lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack _ 0$ -morphism:

- $F : \mathcal{K} \to (\mathcal{V})$

のこと。Enriched Yoneda lemma (weak form) - PS の対応により $\mathcal{V}$ -natural transformation:

- natural in $B$

に対応する。

Limit-cylinder

特に、対応する $\mathcal{V}$ -natural transformation が isomorphism になっている cylinder のこと。つまり weighted limit:

$\mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ F G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack (F, TB )$

に対応する cylinder:

$F \to T \operatorname{lim} ^ F G$

のこと。

命題.1

Limit-cylinder:

$\mu : F \to T \operatorname{lim} ^ F G$

は $T _ 0$ -initial morphism。

(逆は成立しない。)

証明

Universal morphism - PS の「Natural Bijection による表現」より normal Yoneda bijection は natural isomorphism を universal morphism に対応させるのであったが、それが $\mu$ そのもの:

$\begin{aligned} & \mathcal{B}(B, \operatorname{lim} ^ F G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack (F, TB ) \\ \mapsto & \lbrace \text{hom functor } \mathcal{V}_0(I, \unicode{0x2013}) \text{ preserves iso and naturality} \rbrace \\ & \mathcal{B} _ 0(B, \operatorname{lim} ^ F G) \cong \lbrack \mathcal{K}, (\mathcal{V}) \rbrack _ 0 (F, T _ 0 B ) \\ \mapsto & \lbrace \text{definiton of normal Yoneda bijection} \rbrace \\ & \mu \end{aligned}$