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Comma category

定義 Category

Comma category

Functor:

$S : \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{C}$
$T : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$

について、comma category:

$(S \downarrow T)$

を次のように定義できる:

$(S \downarrow T)_0 = \lbrace (A, B, f) \mid A \in \mathcal{A}, B \in \mathcal{B}, f : S(A) \rightarrow T(B) \rbrace$
$(S \downarrow T)_1 = \lbrace (A, B, f, A', B', g, a, b) \mid g \circ S(a) = T(b) \circ f, (A, B, f), (A', B', g)\in (S \downarrow T)_0 \rbrace$
$\text{dom}(A, B, f, A', B', g, a, b) = (A, B, f)$
$\text{cod}(A, B, f, A', B', g, a, b) = (A', B', g)$
$(A', B', g, E, F, h, r, s) \circ (A, B, f, A', B', g, a, b) = (A, B, f, E, F, h, r \circ a, s \circ b)$
$\text{id}_{(A, B, f)} = (A, B, f, A, B, f, \text{id} _ A, \text{id} _ B)$

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命題

- $(a, b): \text{iso} \Leftrightarrow (a: \text{iso} \wedge b: \text{iso})$

Morphism category

identity functor: $1 _ {\mathcal{C} } : \mathcal{ C \rightarrow C }$

を使って

$\mathcal{C} ^ {\rightarrow} = (1 _ {\mathcal{C}} \downarrow 1 _ {\mathcal{C}} )$

と定義できる。

Over category, slice category

Category $\mathcal{C}$ と $\mathcal{C}$ -object $A$ について、

constant functor: $\Delta(A) : 1 \rightarrow \mathcal{C}$

を使った

$(1 _ {\mathcal{C} } \downarrow \Delta(A) )$

をcategory over $A$ といい、

$\mathcal{C} \downarrow _ A$

と書く。

Cone category

任意のfunctor $F : \mathcal{J \rightarrow C}$ について、cone categoryを

diagonal functor: $\Delta : \mathcal{C \rightarrow C ^ {J} }$
constant functor: $\Delta(F) : 1 \rightarrow \mathcal{ C ^ {J} }$

を使って次のように定義できる:

$\mathcal{Cone}(F) = (\Delta \downarrow \Delta(F))$

参考文献