Monad algebra Monad: について、 monad algebra of とは、 (associative law) (unit law) を満たす代数的構造: のこと。 Eilenberg-Moore category 上記をobjectとするEilenberg-Moore category: を - と同様にして定義できる。 Associated adjunction with…

Adjunction morphism Unit-adjunction: について、 を満たすfunctorのペア: をadjunction morphismという。*1 命題 要件1と2が成立するとき、 のcounitをそれぞれ natural bijectionを とすると、 要件3 Adjunction category Small category上のadjunctionと…

Monoidal category Monoidal category: とは、 category: bifunctor: (monoidal product) -object: (unit object) natural isomorphism: (associator) natural isomorphism: (left unitor) natural isomorphism: (right unitor) で、pentagon equalityとtria…

Arrow category Arrow category とは、comma category: のことであった。 Twisted arrow category 任意のcategory について、morphismの向きを逆にするfunctor: を使ったcomma category: のことを、twisted arrow categoryと呼び、 と書くことにする。 さら…

Congruence relation Equivalence relationの族: が、以下を満たすとき、category 上のcongruence relationと言う。 *1 これは、 と同値。 Quotient category Category 上のcongruence relation について、quotient category: を次のように定義できる: *2 Ge…

Category of elements functor について、category of elements: とは comma category *1 のこと。 Category of coelements functor について、category of coelements: とは comma category のこと。 Coelements functor (とでも呼ぶことにする) *2 命題 *3…

Lattice Has all finite products(meet, infimum)かつ、has all finite coproducts(join, supremum)なposetal category。 Bounded lattice Terminal object(greatest element)とinitial object(least element)を持つlattice。 Heyting algebra Has all expon…

Finite category 以下を満たすcategory のこと。 はfinite set はfinite set Small category 以下を満たすcategory のこと。 はset はset Finite diagram Domainがfinite categoryになっているdiagram。 Small diagramも同様に。 Has all finite (co)limits …

Skeletal category なるcategory。つまり、isomorphicと の意味が等しい。 Thin category なるcategory。 Preordered set (proset)から自明に作ることができる。 Commutative diagram Domainがthinなdiagram。 Groupoid category なるcategory。つまり、morp…

Subobject -monomorphism: について、 と定義すると、 はequivalence relationになるので、equivalence class: を のsubobjectといい、 が成立することから、 と書いてしまう。 Subobject category (･･･と呼ぶのか怪しいが) -object のsubobjectをobjectとす…

@Deprecated Skeletal category なるcategory のこと。つまり、isomorphicなobjectは等しい、というcategory。 Posetal category Skeletalなpreorder categoryのこと。Posetと本質的に等しい。 命題 参考文献 Posetal category - Wikipedia, the free encycl…

Faithful functor Functor について、function が、 を満たすとき、functor をfaithful functorという。 Full functor なるfunctor のこと。 Fully faithful functor Fullかつfaithfulなfunctorのこと。 命題 参考文献 isbn:0199237182 Concrete category - …

Endofunctor Domainとcodomainが同じfunctorのこと。 F-algebra 任意のendofunctor について、 -algebraとは、以下から成る代数的構造 である。 -object: (carrier) -morphism: F-algebra category 任意のendofunctor について、 -algebra category: を次の…

Scala category と同じような感じで、scala category*1: を次のようにして定義できる: scalazが想定していると思われるcategory*2。 厳密に分析するのは止めたほうがよさそう。 参考文献 scalaz/scalaz · GitHub *1:こういう用語があるのかは不明･･･ *2:標準…

(定義に再び挑戦･･･) Terminal object Category について、terminal object: とは、以下を満たす -object のこと。 (universality) このただ一つ存在する を (mediating morphism) で参照することにする。 Terminal objectはunique up to isomorphismなので…

Monoid as category Monoid について、monoid as category*1: を次のように定義できる: *2 Monoidもcategoryだった、ということ。 とは全然違うので注意。 参考文献 Monoid - Wikipedia, the free encyclopedia *1:固有名詞があるのか分からず *2:元は の一…

Haskell category Haskell category*1: を次のように定義できる: 厳密にはundefined :: forall a. aの扱いが難しいらしい。 Bottom ならば、選択公理により ここで をbottom typeと言い*2、その中から元を一つ選んで (bottom) とする。 公理的集合論では、bo…

Comma category Functor: について、comma category: を次のように定義できる: 命題 Morphism category identity functor: を使って と定義できる。 Over category, slice category Category と -object について、 constant functor: を使った をcategory o…

The 1 Category を次のように定義できる: 命題 Constant functor Category と -object について、constant functor を次のように定義できる: Constant natural transformation 任意のcategory と -morphism について、constant natural transformation: を定…

Cartesian category @deprecated Category について、以下を満たすとき、cartesian category*1という。 任意のdiscrete diagram in : について、product: が存在する。 Product morphism 二つのproduct: 二つのmorphism: について、 はconeであるから、produ…

Identity natural transformation Functor について、identity natural transformation: を定義できる。 Composite natural transformation 二つのnatural transformation: について、composite natural transformationを次のように定義できる: Functor cate…

Empty category Empty category を以下のように定義できる: 残りは省略 Empty diagram Domainがempty categoryのdiagramのこと。Empty diagramのことを と書くことにする。 Terminal object @deprecated Empty diagram へのcone は、vertex と本質的に等しい…

Discrete category Category について、以下の二つの要件を満たすものをdiscreate categoryという。 任意の について つまり、morphismが しかないcategory。Discrete categoryはpreorderである。 Discrete diagram Domainがdiscreteなdiagramのこと。このよ…

Preorder category Category について、 *1 が成立するとき、preorder categoryという。 つまり、domainとcodomainが等しいmorphism同士は等しい、というcategory。 Diagram Category について、functor: を、diagram in of shape という。 関数の略記法が「…

Locally small category Category について が成立するとき、locally small category*1という。 が集合であることは要求されない。集合は類なので、類 の部分類になりうる(ということか)。 以下、 はlocally smallであるとすると、次のようなfunctorが定義で…

Subcategory @error Category と について、以下を満たすとき、 を のsubcategoryといい、(思い切って) と書くことにする。 *1 このようなfunctor が存在するならば、明らかにただ一つ定まる。 (この定義が一番シンプルだと思うが･･･) Inclusion functor @er…

Morphism category 任意のcategory について、morphism category: を次のように定義できる: Morphism間のhomomorphismを定義した、ということ。 Function category (とでも呼べばいいのだろうか。) 上の定義はなんだかよく分からない？が、特に のmorphism c…

Product category 任意の category と について、product category: を次のように定義できる: *1 Projection functor 任意の product category について、projection functor: を定義できる。 Bifunctor Domain が product category になっている functor の…

Opposite category 任意のcategory について、opposite category: を次のように定義できる: 他は全て のものと同じ Contravariant functor Contravariant functor とは、functor のことである。 対して普通のfunctorをcovariant functorという。 Opposite fu…

Small category 任意のCategory について、二つの類: が両方とも集合であるとき、small categoryという。 Category of small categories Category を次のように定義できる: 「任意のcategory について」を「任意の について」と書きたかったが、 さえ含まれ…