PS

Adjunction category

圏論定義 Adjunction Category

Adjunction morphism

Unit-adjunction:

$F \underset{\eta}{\dashv} G : \mathcal{A} \to \mathcal{X}$
$F' \underset{\eta'}{\dashv} G' : \mathcal{A'} \to \mathcal{X'}$

について、

$L \circ G = G' \circ K$
$K \circ F = F' \circ L$
$L \eta = \eta' L$

を満たすfunctorのペア:

$(K : \mathcal{A} \to \mathcal{A'}, L : \mathcal{X} \to \mathcal{X'} )$

をadjunction morphismという。*1

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命題

要件1と2が成立するとき、 $F \dashv G, F' \dashv G'$ のcounitをそれぞれ $\epsilon, \epsilon'$ natural bijectionを $\varphi, \varphi'$ とすると、

要件3 $\Leftrightarrow K \epsilon = \epsilon' K \Leftrightarrow L _ 1 \circ \varphi = \varphi' \circ K _ 1$

Adjunction category

Small category上のadjunctionとadjunction morphismについて、

$1_{F \dashv G} = (1_{\text{cod}(F)},\ 1_{\text{dom}(F)})$
$(K',\ L') \circ (K,\ L) = (K' \circ K,\ L' \circ L)$

とすれば、categoryになる。

参考文献

*1:･･･はずなのだが、transformationと言ったりする