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Eilenberg-Moore adjunction

圏論 定義 Category Adjunction

Monad algebra

Monad:

  • (T : \mathcal{C} \to \mathcal{C}, \eta : 1 _ \mathcal{C} \to T, \mu : T ^ 2 \to T)

について、 monad algebra of T とは、

  1. \alpha \circ T(\alpha) = \alpha \circ \mu _ A (associative law)
  2. \alpha \circ \eta _ A = 1 _ A (unit law)

を満たす代数的構造:

  • (A \in \mathcal{C} _ 0, \alpha : TA \rightarrow A)

のこと。

Eilenberg-Moore category

上記をobjectとするEilenberg-Moore category:

  • \mathcal{C} ^ T

を T- \mathcal{Alg} と同様にして定義できる。

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Associated adjunction with a monad

Monad (T, \eta, \mu) について、

  1. T = U F
  2. \mu = U \epsilon F

を満たすadjunction:

  • F \overset{\epsilon}{ \underset{\eta}{\dashv} } U

を、associated adjunction with T という。

Eilenberg-Moore adjunction

Monad (T, \eta, \mu) について、functor:

と、forgetful functor:

  • {\sf U} ^ T : \mathcal{C} ^ T \to \mathcal{C}
  • {\sf U} ^ T(h : (A, \alpha) \to (B, \beta)) := h : A \to B

を定義できて、 \eta をunit、

  • \epsilon ^ T : {\sf F} ^ T {\sf U} ^ T \rightarrow 1 _ {\mathcal{C} ^ T}
  • \epsilon ^ T _ {(A, \alpha)} := \alpha : (TA, \mu _ A) \to (A, \alpha)

をcounitとするassociated adjunction with T:

  • {\sf F} ^ T \overset{\epsilon ^ T} { \underset{\eta}{\dashv} } {\sf U} ^ T

を作ることが出来る。

参考文献

*1:naturality square