PS

2-category

圏論定義

記法

2-category:

$\mathcal{A} := (|\mathcal{A}|, \mathsf{c}, \mathsf{u})$

について

$\beta \star \alpha := \mathsf{c}(\alpha, \beta)$
$1 _ A := \mathsf{u} _ A (\ast)$
$\mathsf{i} _ A : 1 _ A \to 1 _ A := \mathsf{u}_ A ( \mathsf{id} _ \ast : \ast \to \ast ) = \mathsf{id} _ { \mathsf{u} _ A(\ast) } : \mathsf{u} _ A (\ast) \to \mathsf{u} _ A (\ast)$

と書くことにする。

2-category laws

n-Category - PS の定義により

$\gamma \star (\beta \star \alpha) = (\gamma \star \beta) \star \alpha$ (associativity)
$\mathsf{i} \star \alpha = \alpha$ (left unitality)
$\alpha \star \mathsf{i} = \alpha$ (right unitality)

さらに、 $\star$ の Bifunctoriality - PS より

$\mathsf{id} _ g \star \mathsf{id} _ f = \mathsf{id} _ {g \star f}$
(interchange)
- $(\mathsf{id} _ {g'} \star \beta) \circ (\alpha' \star \mathsf{id} _ f) = \alpha' \star \beta$ (sliding)
- $(\beta' \star \mathsf{id} _ g ) \circ (\mathsf{id} _ {f'} \star \alpha) = \beta' \star \alpha$

が成立する。

2-category of small categories

small category の class
functor category の族: $(\mathcal{B} ^ \mathcal{A} ) _ { \mathcal{A}, \mathcal{B} }$
Godement product functor の族: $( \star _ {\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}} : \mathcal{C} ^ \mathcal{B} \times \mathcal{B} ^ \mathcal{A} \to \mathcal{C} ^ \mathcal{A} ) _ {\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}}$
identity functor の族: $(\mathsf{Id} _ \mathcal{A}) _ \mathcal{A}$

は 2-category を成す。

Strict monoidal category as 2-category

Strict monoidal category:

$(\mathcal{C}, \otimes, I)$

について

$|\mathcal{C}| := \lbrace \ast \rbrace$
$\mathcal{C}(\ast,\ast) := \mathcal{C}$
$\star := \otimes$
$\mathsf{u}(\ast) := I$

とすると、2-category になる。

参考文献