Closed monoidal category

Monoidal category $(\mathcal{V},\otimes,I)$ が

${} ^ \forall Y \in \mathcal{V}, \unicode{0x2013} \otimes Y \dashv {} ^ \exists [ Y, \unicode{0x2013} ]$

を満たすとき、closed monoidal category という。

任意の $Y$ について natural bijection (curry bijection):

$\big( \pi _ {X, Y, Z} : \mathcal{V}(X \otimes Y, Z) \cong \mathcal{V}(X,[Y, Z ] ) \big) _ {X, Z}$

が存在するような monoidal category のこと。

Adjunctions with parameters - PS により $\pi$ を $Y$ についても natural にするような bifunctor:

$[ \unicode{0x2013}, \unicode{0x2013} ] : \mathcal{V} ^ \mathrm{op} \times \mathcal{V} \to \mathcal{V}$

がただ一つ定まる。

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$\pi$ とその inverse を四角い箱で表す。Bijection なのでぴったり二重になると箱は消える。

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上記の adjunction の counit のこと。

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$\pi$ の $X$ についての naturality:

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による。