Hom functor

Category $\mathcal{C}$ について

が成立するとき、locally small category*1という。 $\mathcal{C}_1$ が集合であることは要求されない。集合は類なので、類 $\mathcal{C}_1$ の部分類になりうる(ということか)。

以下、 $\mathcal{C}$ はlocally smallであるとすると、次のようなfunctorが定義できる。

$\mathcal{C}(-,-) : \mathcal{C}^{op} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{Set}$
$\mathcal{C}(-,-)(A, B) = \mathcal{C}(A, B)$
$\mathcal{C}(-,-)(f, g) = g \circ - \circ f$ *2

このfunctorを使って、さらに二つのfuntorを定義できる。

Object $A \in \mathcal{C}_0$ について

いつもどおり、object用とmorphism用をまとめて定義した。 Morphism用には $A$ を $\text{id}_A$ の意味として使って部分適用している。

Object $B \in \mathcal{C}_0$ について

*1:Categoryの要件にlocally smallを含める本もあるようだ。

*2:Placeholder syntaxを使った無名関数